专题24 空间角与距离、空间向量及其应用（理科专用，11类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习考点帮（全国通用）

专题24 空间角与距离、空间向量及其应用 （核心考点精讲精练） 1. 近几年真题考点分布 空间空间与立体几何近几年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2023年全国乙（文科），第16题,5分 已知三棱锥外接求半径，求线段长 2023年全国乙（文科），第19题,12分 1、证明线面平行； 2、求三棱锥的体积； 2023年全国乙（理科），第3题,5分 2023年全国乙（文科），第3题,5分 通过三视图求几何体的表面积 2023年全国乙（理科），第8题,5分 圆锥体积相关计算 2023年全国乙（理科），第9题,5分 证明面面垂直，由二面角求线段长，从而求线面角的正切值 2023年全国乙（理科），第19题,12分 1、证明线面平行； 2、证明面面垂直； 3、求二面角 2023年全国甲（文科），第10题,5分 证明线面垂直，求三棱锥的体积 2023年全国甲（文科），第16题,5分 正方体的外接球、棱切球问题 2023年全国甲（文科），第18题,12分 1、证明面面垂直； 2、求四棱锥的高 2023年全国甲（理科），第11题,5分 四棱锥表面积有关计算 余弦定理解三角形 2023年全国甲（理科），第15题,5分 正方体的棱切球问题 2023年全国甲（理科），第18题,12分 1、已知点面距，证明线面垂直，从而得到线线相等； 2、已知平行线间的距离，求线面角的正弦值 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】1.本节为理科必考知识，常出现在解答题中； 2.用空间向量求点线、点面、线线、线面、面面距离； 3.用空间向量求异面直线、线面、、面面所成角； 4.用空间向量证明线线、线面、面面平行与垂直. 【备考策略】1.会用空间直角坐标系刻画点的位置,掌握空间中两点间的距离公式. 2.了解空间向量基本定理及其意义,理解空间向量的坐标表示. 3.掌握空间向量的数量积运算. 4.能用向量方法判断或证明点、线、面之间的位置关系. 5.能用向量方法解决空间中的距离问题. 6.能用向量方法求解空间中的角度问题. 【命题预测】1.用空间向量求点线、点面、线线、线面、面面距离； 2.用空间向量求异面直线、线面、、面面所成角； 3.用空间向量证明线线、线面、面面平行与垂直. 知识讲解 一、空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中,具有　 　和　 　的量  相等向量 方向　 　且模　 　的向量  相反向量 方向　 　且模　 　的向量  共线向量 (或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相　 　的向量  共面向量 平行于　 　的向量  二、空间向量的有关定理 1.共线向量定理:对空间任意两个向量的充要条件是存在唯一的实数,使得　 　.  2.共面向量定理:如果两个向量不共线,那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的实数对,使　 　.  3.空间向量基本定理:如果三个向量不共面,那么对空间中任一向量,存在有序实数组,使得　 　,其中,叫作空间的一个基底.  三、两个向量的数量积 1.非零向量的数量积. 2.空间向量数量积的运算律: (1)结合律:. (2)交换律:. (3)分配律:. 四、空间向量的坐标表示及其应用 设. 向量表示 坐标表示 数量积 共线 　　  垂直 　　  模 夹角 　　恰当选择基向量是用向量解决立体几何问题的关键.用已知基向量表示指定向量时,应结合已知和所求向量,观察图形,将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中,然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算. 证明三点共线、空间四点共面的方法 三点(P,A,B)共线 空间四点(M,P,A,B)共面 =λ且同过点P =x+y 对空间任一点O,=+t 对空间任一点O,=+x+y 对空间任一点O,=x+(1-x) 对空间任一点O,=x+y+(1-x-y) 利用空间向量数量积求夹角和长度 (1)求夹角,设向量所成的角为,则,进而可求出两异面直线所成的角,注意两异面直线所成角的范围是; (2)求长度(距离),运用公式,可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题. (3)利用向量的数量积可解决有关垂直的问题:. 五、直线的方向向量与平面的法向量 1.直线的方向向量:如果表示非零向量的有向线段所在的直线与直线平行或共线,那么称向量为直线的方向向量. 2.平面的法向量: