第22章 考点综合专题：抛物线与三角形的综合（作业课件）-【优翼·学练优】2023-2024学年九年级上册数学同步备课（人教版）

2023秋季学期 《学练优》·九年级数学上·RJ 1．(2022·贺州中考)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线对称轴上一动点，当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；(3)在(2)条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得S△BCM＝S△BCP？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． (1)由题意得抛物线的解析式为y＝－(x＋1)·(x－3)，∴y＝－x2＋2x＋3. (2)由(1)得抛物线的对称轴为直线x＝1，点C(0，3)．设P(1，m)，∵PB2＝PC2，∴(3－1)2＋m2＝1＋(m－3)2.∴m＝1.∴P(1，1)． (3)存在．如图，假设存在点M满足条件，作PQ∥BC交y轴于Q，作MN∥BC交y轴于N.易得直线PQ的解析式为y＝－x＋2，∴Q(0，2)．∵C(0，3)，S△BCM＝S△BCP，∴N(0，4)．∴直线MN的解析式为y＝－x＋4.由－x2＋2x＋3＝－x＋4，得x＝ ，∴点M的横坐标为 . 解决抛物线中动点生成等腰三角形的问题时，若底边确定，则可根据两腰相等构造方程解决问题；若底边不确定，则需分类讨论． 2．(2022·广安中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋x＋m(a≠0)的图象与x轴交于A，C两点，与y轴交于点B，其中点B的坐标为(0，－4)，点C的坐标为(2，0)．(1)求此抛物线的函数解析式．(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD，BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标． (1)∵抛物线y＝ax2＋x＋m(a≠0)的图象经过点B(0，－4)，点C(2，0)， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为y＝2(1)x2＋x－4. (2)存在．如图①中，设D(t，2(1)t2＋t－4)，连接OD.令y＝0，则 x2＋x－4＝0，解得x＝－4或2.∴A(－4，0)．∵B(0，－4)，∴OA＝OB＝4. ∵S△ABD＝S△AOD＋S△OBD－S△AOB＝×4×(－ t2－t＋4)＋ ×4×(－t)－×4×4＝－t2－4t＝－(t＋2)2＋4.∵－1＜0，∴t＝－2时，△ABD的面积最大，最大值为4，此时D(－2，－4)． (3)如图②中，设抛物线的对称轴交x轴于点N，过点B作BM⊥抛物线的对称轴于点M.则N(－1，0)，M(－1，－4)．∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°.当∠P1AB＝90°时，△ANP1是等腰直角三角形，∴AN＝NP1＝3.∴P1(－1，3)； 当∠ABP2＝90°时，△BMP2是等腰直角三角形，可得P2(－1，－5)；当∠APB＝90°时，设P(－1，n)，设AB的中点为J，连接PJ，则J(－2，－2)． ∴PJ＝ AB＝2 .∴12＋(n＋2)2＝(2 )2.解得n＝ －2或－ －2.∴P3(－1， －2)，P4(－1，－ －2)．综上所述，满足条件的点P的坐标为(－1，3)或(－1，－5)或(－1， －2)或(－1，－ －2)． 解决抛物线中动点生成直角三角形的问题时，若斜边确定，则可直接根据勾股定理列方程解决问题；若斜边不确定，则需就哪一边是斜边进行分类讨论． 谢谢观看 Thank you for watching! $$