1.3直线的一般式和点法式课件-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

1.3直线的方程 理解直线方程的一般式的形式特点，达到数学抽象核心素养学业质量水平一的层次。 能正确进行直线方程的一般式与直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种方程的互化，达到数学运算和逻辑推理核心素养学业质量水平一的层次。 名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 方程 适用范围 不含垂直于x轴的直线 不含垂直于x轴的直线 不含直线x=x1 （x1≠x2） 和直线y=y1 （y1≠y2） 不含垂直于坐标轴和过原 点的直线 复习回顾 环节一 直线的一般式 思考1：平面直角坐标系中的任意一条直线都可以表示成Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的形式吗? 1、直线的一般式 直线的一般式：Ax+By+C=0(A,B不同时为0) 1、直线的一般式 思考2：A，B为什么要不同时为0?同时为0会是什么？ A，B同时为0不是直线方程，是常函数。 思考3：当A=0时，直线的一般式会是什么？ y= - 平行于x轴的一条直线，直线倾斜角为0°。 1、直线的一般式 思考4：当B=0时，直线的一般式Ax+By+C=0会是什么？ x= - 思考5：当C=0，A≠0，B≠0时，直线的一般式Ax+By+C=0会是什么？ 垂直于x轴的一条直线，直线倾斜角为90°。 过原点的直线。 总结：当A=0，平行x轴；当B=0，垂直x轴；当C=0，过原点 1、直线的一般式 思考6：当B≠0时，直线的一般式Ax+By+C=0会是什么？ y= 思考7：从上面的式子中，你能看出斜率吗？ k= - 思考8：结合前面直线方向向量的概念，直线方向向量还可以怎么表示？ （B，-A） 1、直线的一般式 思考9：与前面所学的四个直线方程表达式相比，你发现直线的一般式有什么优点？ 可以表示斜率不存在的情况 任何一条直线都可以用直线的一般式进行表达！ 思考10：直线的一般式Ax+By+C=0是什么类型的方程？ 二元一次方程 1、直线的一般式 注意事项： （1）方程中等号左侧从左往右，一般按x,y,常数的先后顺序排列. （2）字母x前的系数一般不为负数，且方程中一般不出现分数. 下面式子要变形： 例 1 已知直线的方程，求出直线的斜率和它在轴与轴上的截距，并画图. 它在轴上的截距是 在轴上的截距是. 例 2 已知A·C＜0,且B·C＜0,那么直线Ax+By+C=0不通过第 象限。 解析 由题意知A·B·C≠0. 直线方程变为y= - x - ， ∵A·C＜0，B·C＜0，∴A·B＞0， ∴其斜率k=-＜0,在y轴上的截距b=-＞0, ∴直线过第一、二、四象限，不通过第三象限。 例 2 若方程(m2-3m+2)x+(m-2)y-2m+5=0表示直线. (1)求实数m的范围. (2)若该直线的斜率k=1,求实数m的值. 【解析】(1) 由 解得m=2, 若方程表示直线，则m2-3m+2与m-2不能同时为0，故m≠2. (2)由 解得m=0. 环节二 直线的点法式 2、直线的点法式 回顾：直线的方向向量有哪几种表示方法 （1,k） (B,-A) （x-x0,y-y0） 思考1：如何表示与直线垂直的向量呢？ 思考2：直线的法向量与直线的方向向量有什么关系？ 互相垂直 法向量，用 2、直线的点法式 思考3：若已知P为（1,2），法向量 为（5,6）,请问经过P点的直线的方程怎么表示？ 5（x-1）+6(y-2)=0 思考4：若已知P为（），法向量 为（）,请问经过P点的直线的方程怎么表示？ A（x-）+B(y-)=0 2、直线的点法式 直线的点法式：设直线上的任意一点的坐标为，则.由＝0 ，可得. 思考5：点法式能表示所有的直线吗？ 能，因为所有直线上的点（x,y）都能用这个式子表示。 已知的三个顶点分别为A(1,2),B(-2,1),C(0,-1), 求边上的高所在直线的方程. 例 1 解：由已知，可得. 因为就是边上的高所在直线的法向量， 又所求直线经过点所以由直线方程的点法式可得所求直线的方程为，　　　 即 例 2 已知直线经过点，且与P(-1,0),Q(3,2)两点的连线垂直，求直线的方程. 解：因为，所以为直线的一个法向量.又直线经过点，代入直线的点法式方程，得，即 环节三 直线的定点 3、直线的定点 思考1：若已知直线mx-y+2m+1=0经过一个定点，那么该定点的坐标是什么呢 追问1：定点定的谁的值？ 追问2：定点和哪个值无关？ （x,y） m 追问3：这是什么意思？ 无论m取何值时，x和y都有一个定值。 3、直线的定点 思考1：若已知直线mx-y+2m+1=0经过一个定点，那么该定点的坐标是什么呢 思考2：上述问题等价于，若已知