1.1.3 第3课时 直线方程的一般式(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（北师大版）

1 直线与直线的方程 1 1.3 直线的方程 第3课时 直线方程的一般式 2 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 探究点一 直线方程的一般式 探究点二 直线方程一般式的应用 探究点三 直线方程的点法式 探究点四 直线过定点问题 3 【学习目标】 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式. 2.会进行直线方程的五种形式之间的转化. 4 知识点一 直线方程的一般式 关于，的二元一次方程________________（其中， 不全为0）表示的是一 条直线，称它为直线方程的________. 一般式 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）直线方程的一般式都可以化为截距式.( ) × （2）直线方程的一般式都可以化为斜截式.( ) × （3）平面直角坐标系中的任何一条直线都可以用直线方程的一般式表示.( ) √ 课 前 预 习 5 知识点二 直线方程的点法式 若直线过点，且它的一个法向量为，则直线 的方程为 _________________________，称这个方程为直线方程的点法式. 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）任何直线的方程都可以化为点法式.( ) √ （2）直线的一个法向量的坐标为 .( ) × （3）直线的一个方向向量的坐标为 .( ) √ 课 前 预 习 6 探究点一 直线方程的一般式 例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式. （1）斜率是，且经过点 ； 解：由点斜式，得直线方程为 ， 即 . （2）经过， 两点； 解：由两点式，得直线方程为 ， 即 . 课 中 探 究 7 （3）在轴、轴上的截距分别为， ； 解：由截距式，得直线方程为，即 . （4）经过点，且平行于 轴. 解：直线方程为，即 . 课 中 探 究 8 变式1 若方程表示一条直线，则实数 满足 ( ) B A. B. C. D.且 [解析] 当时，或； 当时，或 . 要使方程表示一条直线， 则， 不能同时为0，所以 ，故选B. 课 中 探 究 9 变式2 求直线绕点按逆时针方向旋转 后所得到的直线 的方程. 解：设直线的倾斜角为 ，旋转后直线的倾斜角为 ， 则，. 易知旋转后的直线过点 ， 所以旋转后所得到的直线的方程为，即 . 课 中 探 究 10 ［素养小结］ 1.求直线方程的一般式的方法 2.由直线方程的一般式转化为四种特殊形式时，一定要注意转化的前提条件. 课 中 探 究 11 探究点二 直线方程一般式的应用 例2 设直线的方程为 . （1）若直线在轴上的截距为，求 的值； 解：由题意知，即且 ， 令，得，，解得 . （2）若直线的斜率为1，求 的值. 解：由题意知，，即且. 将直线 的方程化为斜截式，得， ，得 . 课 中 探 究 12 变式（1） [2024·北京101中学高二月考]由曲线 围成的图形的面 积为( ) B A.2 B.4 C.5 D.8 [解析] 当,时，曲线方程为 ； 当,时，曲线方程为； 当, 时，曲线方程为； 当, 时，曲线方程为. 作出曲线 ，如图所示， 由图可知，围成的图形是一个菱形， 其面积为 .故选B. 课 中 探 究 13 （2）在同一平面直角坐标系中，直线 ， 的位置可能是( ) D A. B. C. D. 课 中 探 究 14 [解析] 直线的方程是，可化为， 的方程是，可化为. 在A中，假设直线的位置正确，则 ,，所以,的倾斜角为钝角， 故A错误； 在B中,假设直线 的位置正确,则,,所以, 的倾斜角为锐角, 故B错误； 在C中，假设直线的位置正确，则,，所以， 的倾斜角为钝角，且 在轴上的截距为正数，故C错误； 在D中，假设直线的位置正确，则 ,，所以,的倾斜角为钝角， 且在 轴上的截距为负数，故D正确. 故选D. 课 中 探 究 15 ［素养小结］ （1）若方程表示直线，则需满足， 不同时为0. （2）在直线方程中，令可得直线在 轴上的截距，令 可得直线在 轴上的截距.若确定直线斜率存在，则可将一般式化为斜截式. （3）解分式方程注意验根. 课 中 探 究 16 拓展 已知直线的方程为 . （1）若在两坐标轴上的截距相等，求 的值； 解：易知，在方程中， 令，则 ，令，则. 在两坐标轴上的截距相等，，解得 或 . （2）若不经过第二象限，求实数 的取值范围. 解：将直线的方程化为斜截式得 ， 直线不经过第二象限，解得 ， 实数的取值范围为 . 课 中 探 究 17 探究点三 直线方程的点法式 例3（1） 直线过点，且的一个法向量为，则直线 的方程 的点法式为______________________. [解析] 直线的方程的点法式为 . 课 中 探 究 18 （2）在中，，，，则 边上的高所在直线的方程是 ( ) A A. B. C. D. [解析] 在中，，，， 边上的高所在直线的一个法向量为，且过点， 故 边上的高所在直线的方程是，即 .故选A. 课 中 探 究 19 变式 过点，且与直线 垂直的直线的方程的点法式为 __________________. [解析] 与直线垂直的直线的一个法向量的坐标为 ， 则所求直线方程的点法式为 . 课 中 探 究 20 ［素养小结］ 在求直线方程的点法式时，一定要区别直线的法向量与方向向量，结合向量的 知识准确找出直线的一个法向量，再由点法式，写出直线的方程. 课 中 探 究 21 探究点四 直线过定点问题 例4（1） 无论为何值,直线 都过一个定点,则 该定点的坐标为( ) D A. B. C. D. [解析] 由，得 . 当时，直线方程为 ， 由点斜式可知，直线过定点； 当时，直线方程为，过点 . 因此所求定点坐标为 .故选D. 课 中 探 究 22 （2）已知实数，满足，则直线 过定点( ) D A. B. C. D. [解析] 由，得， 则直线方程 即为， 整理得 ， 由直线方程的点斜式可知，直线过定点, .故选D. 课 中 探 究 23 变式 已知，，直线与线段 恒相交，求实 数 的取值范围. 解：由，得 ，由点斜式可知， 直线过定点. 如图所示，设线段与轴交于点 ， 易知直线不过点，由图知， 当直线与线段 的交点在线段（不含端点）上时， 大于或等于直线 的斜率，即； 当直线与线段的交点在线段 （不含端点）上时， 小于或等于直线的斜率，即. 综上，实数 的取值范围为 . 课 中 探 究 24 ［素养小结］ （1）题目给出已知直线方程含参，则直线一般过定点； （2）直线过定点，当斜率存在时，将直线方程化为点斜式，可得直线过定点 ， 当斜率不存在时，根据直线方程也可得直线过定点 ，从而可得答案. 课 中 探 究 25 $