专题7.5 数列的综合应用（讲+练）-备战2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

专题7.5 数列的综合应用 【核心素养】 1.数列与传统数学文化、实际问题相结合，考查等差、等比数列的基本运算，凸显数学建模的核心素养． 2．数列与新定义问题相结合，考查转化、迁移能力，凸显数学抽象的核心素养． 3．数列与函数、不等式、解析几何等相结合，考查学生综合分析解决问题的能力，凸显逻辑推理的核心素养． 知识点一 数列与函数 数列与函数的综合问题主要有以下两类： （1）已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题； （2）已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形． 知识点二 数列与不等式 1.数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”． 放缩法常见的放缩技巧有： (1)＜＝. (2)－＜＜－. (3)2(－)＜＜2(－)． 2.数列中不等式恒成立的问题 数列中有关项或前n项和的恒成立问题，往往转化为数列的最值问题；求项或前n项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解． 知识点三 数列与解三角形 两大类，一类是以三边（角）成等差（比）数列为条件，给出三角形边角的关系，重点考查三角恒等变换，进一步考查解三角形问题，求边、角、三角形面积、周长等.另一类是，在三角形中，证明三角函数式、三角形的边角具有数列特征.都应注意充分应用转化与化归、数形结合、函数方程等思想方法.这类问题主要体现直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 知识点四 数列实际应用问题 解答数列实际应用问题的步骤 (1)确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单递推数列模型．基本特征如下： 等差数列模型：均匀增加或者减少 等比数列模型：指数增长或减少，常见的是增产率问题、存款复利问题 简单递推数列模型：指数增长的同时又均匀减少．如年收入增长率为20%，每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销，即数列 (2)准确解决模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确． (3)给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点． 常考题型剖析 题型一：数列与函数的综合 【典例分析】 例1-1.（2023·河南开封·统考三模）已知数列的前n项和为，满足，函数定义域为R，对任意都有，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 例1-2.（2021·全国·统考高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 【温馨提醒】 解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到数列的求和、和的最值，利用函数性质或不等式性质求解较为常规． 【变式训练】 变式1-1.（2005·北京·高考真题）若不等式对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1-2.（2022秋·广东东莞·高三校考阶段练习）已知等比数列均为正数，，且，（为的前项和） (1)求数列的通项公式； (2)若是数列的前项积，请求出，及当取最大值时对应的的值. 题型二：数列与不等式的综合 例2-1.（2023·全国·统考高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 例2-2.（2022·浙江·统考高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为． (1)若，求； (2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围． 【温馨提醒】 数列与不等式的结合，除应熟练掌握数列的通项公式、求和公式，关于不等式证明、不等式恒成立问题的处理方法亦应灵活运用. 【变式训练】 变式2-1.（2023秋·云南·高三校联考阶段练习）在正项数列中，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项积为，求取得最大值时的取值． 变式2-2.（2023秋·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考开学考试）已知函数，其中，且. (1)当时，求； (2)设，，记数列的前项和为，求使得恒成立的的最小正整数. 题型三：数列与解三角形的综合 【典例分析】 例3-1．（2012·山东·高考真题）在△ABC中，内角所对的边分别为，已知. (Ⅰ)求证：成等比数列； (Ⅱ)若，求△的面积S. 例3-2.（2014·陕西·高考真题）的内角所对的边分别为． (1)若a，b，c成等差数列，证明：； (2)若成等比数列，求的最小值． 【规律方法】 1.裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． 2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩