重难点专题09 双变量不等式十大题型-【划重点】备战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

重难点专题09双变量不等式十大题型汇总 题型1转化为单变量 1 题型2整体换元法 2 题型3选取主元法 3 题型4变更主元法 4 题型5比值代换法 6 题型6同构法 7 题型7双变量的单调问题 8 题型8中点类型 9 题型9极值点的和差积商问题 10 题型10剪刀模型 11 题型1转化为单变量 【例题1】（2023秋·江苏常州·高三校考期末）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若存在两个零点，，求a的取值范围，并证明：. 【变式1-1】1. （2022秋·海南·高三校联考期末）已知函数 (1)求的单调区间； (2)若函数有两个不同的零点，，证明：． 【变式1-1】2. （2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）若函数有两个零点，且． (1)求a的取值范围； (2)若在和处的切线交于点，求证：． 【变式1-1】3. （2023·广西·校联考模拟预测）已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)若有两个不同零点，证明：． 【变式1-1】4. （2023·全国·模拟预测）已知函数，. (1)若函数是增函数，求的取值范围； (2)已知、为函数（为函数的导函数）图象上任意的两点，设直线的斜率为，证明：. 题型2整体换元法 整体代换，变量归一，通过等价转化，将关于,x的双变量问题等价转化为以x,x所表示的运算式作为整体的单变量问题，通过整体代换为只有一个变量的函数式，从而使问题得到巧妙的解决，我们将这种解决问题的思想称之为变量归一思想. 【例题2】（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）已知函数，其中. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数存在三个零点、、（其中），证明： （i）若，函数，使得； （ii）若，则. 【变式2-1】1. （2023·海南·校联考模拟预测）已知函数在上单调递增. (1)求的取值范围； (2)若存在正数满足（为的导函数），求证：. 【变式2-1】2. （2023·河南开封·统考二模）已知函数图象上三个不同的点． (1)求函数在点P处的切线方程； (2)记（1）中的切线为l，若，证明：． 【变式2-1】3. （2023·全国·高三专题练习）已知函数，的导函数为. (1)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若，求证：方程在上有两个不同的实数根，且. 【变式2-1】4. （2023·全国·高三专题练习）已知指数函数经过点.求： (1)若函数的图象与的图象关于直线对称，且与直线相切，求的值； (2)对于实数，，且，①；②. 在两个结论中任选一个，并证明.（注：如果选择多个结论分别证明，按第一个计分） 题型3选取主元法 指定主变量(选取主元)，有些问题虽然有两个变量，只要把其中一个当作常数，另一个看成自变量，便可使问题得以解决，我们称这种思想方法为指定主变量思想. 【例题3】（2021春•哈密市校级月考）已知函数. (1) 求函数的单调区间和最小值； (2)当时，求证： (其中e为自然对数的底数); (3)若, 求证：. 【变式3-1】1. （2023·山东日照·山东省日照实验高级中学校考模拟预测）已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)若，，且满足，求证：. 【变式3-1】2. （2021秋•广东月考）已知函数，且为常数） (Ⅰ)若函数的极值点只有一个，求实数的取值范围； (Ⅱ)当时，若（其中）恒成立，求的最小值的最大值. 【变式3-1】3. （2023·天津·高三专题练习）设函数． (1)求的单调区间； (2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明： （ⅰ）若，则； （ⅱ）若，则． （注：是自然对数的底数） 【变式3-1】4. （2023·全国·高三专题练习）已知函数（其中是自然对数底数）. (1)求的最小值； (2)若过点可作曲线的两条切线，求证：.（参考数据：） 题型4变更主元法 变更主元，对于题目涉及到的两个变元，已知中一个变元在题设给定的范围内任意变动，求另一外变元的取值范围问题，这类问题我们称之不“伪双变量”问题.这种“伪双变量”问题，往往会利用我们将字母x作为自变量的误区来进行设计.此时，我们变更一元思路，将另一个变量作为自变量，从而使问题得以解决，我们称这种方法为变更主元法. 【例题4】（2021•微山县校级二模）设函数. (1)求的极值； (2)设，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围； (3)若，证明：. 【变式4-1】1. (武汉市2021届高中毕业生三月质量检测)已知函数. (1)当时,求的最小值; (2)证明:当时, f(x)≥lna恒成立. 【变式4-1】2. （2018·全国·高考真题）已知函数． （1）设是的极值点．求，并求的单调区间； （2）证明：当时，． 【变式4-1】3. （2018·全国·高考真题）已知函数． （1）求曲