上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题

复旦附中2023学年第一学期高二年级数学开学考 2023.9 一、填空题（本大题共有12小题,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分,满分54分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1.已知集合,那么 . 2.若复数是纯虚数,则实数 . 3.已知,且,则的最大值是 . 4.若一个等腰三角形顶角的正弦值为,则其底角的余弦值为 . 5.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成,设扇形的面积为,圆面中剩余部分的面积为,当与的比值为时,扇面看上去形状较为美观,那么此时扇形的圆心角的弧度数为 . 6.已知定义域为的奇函数在区间上为严格减函数,且,则不等式的解集为 . 7.已知函数(其中为常数,且)有且仅有3个零点,则的最小值是 . 8.非零平面向量,满足,且,则的最小值为 . 9.如图,正方形中,分别是的中点,沿把这个正方形折成一个四面体,使三点重合,重合后的点记为.若四面体外接球的表面积为,则正方形的边长为 . 10.函数(为常数)的最大值为,则的取值范围为 . 11.已知四棱雉的底面是边长为4的正方形,面,点分别是的中点,为上一点,且为正方形内一点,若面,则的最小值为 . 12.已知平面向量两两互不相等,且.若对任意的,均满足,则当且时,的值为 . 二、选择题（本大题共有4小题,每题5分,满分20分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,填写正确选项. 13.设:实数满足:实数满足.那么是的（）. A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 14.设有下面四个命题:①若复数满足,则;②若复数满足,则;③若复数满足,则;④若复数满足,则,则正确命题的个数是(). A.1 B.2 C.3 D.4 15.设函数,其中.若对任意的恒成立,则下列结论正确的是(). A. B.的图像关于直线对称 C.在上严格递增 D.过点的直线与函数的图像必有公共点16.如图,棱长为2的正方体中,为的中点,点分别为面和线段上动点,则周长的最小值为(). A. B. C. D. 三、解答题(本大题共5题,满分76分)解答下列各题须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分) 已知向量. (1)若,求实数的值; (2)若,求的最小值. 18.(本题满14分,第1小题满分6分,第2小题满8分) 如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形,小区的两个出入口设置在点及点处,且小区里有一条平行于的小路, (1)已知某人从沿走到用了10分钟,从沿走到用了6分钟,将此人步行的速度为每分钟50米,求该扇形的半径的长(精确到1米); (2)若该扇形的半径,已知某老人在小区散步,从沿走到,再从沿走到,试确定的位置,使老人散步路线最长. 19.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分) 如图,正方体中,为棱上一点; (1)试过点在平面上作一条直线,使得,写出作法并说明理由; (2)若为棱的中点,为棱上一点,且,求异面直线与所成的角. 20.(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分)已知函数为实常数. (1)若函数为奇函数,求的值; (2)若时的最小值为2,求的值; (3)若方程有两个不等的实根,且,求的取值范围.21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分) 若函数的最大值为1. (1)求的值; (2)若函数在内没有对称轴,求的取值范围; (3)若函数满足恒成立,且在任意两个相邻奇数所形成的闭区间内总存在至少两个零点,求的最小值. $$