江西省赣州市第四中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题

赣州四中 2023-2024学年高三上学期开学考试数学 一、单选题(每题5分,共40分) 1.直线的斜率是( ) A. B. C. D. 2.在等差数列中,若,,则( ) A.6 B.4 C.0 D.-2 3.在数列中,已知,,则一定 A.是等差数列 B.是等比数列 C.不是等差数列 D.不是等比数列 4.若函数,则等于( ) A. B. C. D. 5.如图,在直三棱柱中,,AC⊥BC,点D是AB的中点,则直线和平面所成角的正切值为( ) A. B. C. D. 6.若抛物线的焦点坐标为,过焦点的直线与抛物线交于A,B两点,且,则弦AB的中点到y轴的距离为( ) A. B.2 C.3 D.4 7.已知数列的前n项和为,且,,则( ) A.数列是等差数列 B.数列是等差数列 C.数列是等比数列 D.数列是等比数列 8.已知,对任意正数x都有恒成立,则t的最小值为( ) A. B. C. D. 二、多选题(每题5分,共20分) 9.已知数列是公比为的等比数列,且成等差数列,则( ) A. B. C. D.1 10.已知函数的定义域是D,有下列四个命题,其中正确的有( ) A.对于,函数在D上是单调增函数 B.对于,函数存在最小值 C.存在,使得对于任意x∈D,都有>0成立 D.存在,使得函数有两个零点 11.斐波那契数列又称黄金分割数列,因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式可如下定义:用表示斐波那契数列的第项,则数列满足:,,记,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 12.过直线上一点作拋物线的两条切线,设切点分别为,记是线段的中点,则( ) A.直线经过该抛物线的焦点 B.直线轴 C.线段的中点在该抛物线上 D.以线段为直径的圆与抛物线的准线相交 三、填空题(共20分) 13.已知为等比数列,是其前n项和,若,,则 . 14.函数的单调递减区间是 . 15.如图所示,半径为的圆是正方形的内切圆,将一颗豆子随机地扔到正方形内,用表示事件“豆子落在圆内”, 表示事件“ 豆子落在扇形(阴影部分)内”,则 . 16.若存在条直线与函数,的图象都相切,则当取最大值时,实数的取值范围是 . 四、解答题(共70分) 17.随着互联网的发展,网络已成为人们日常学习、工作和生活不可或缺的部分,互联网在带给人们生活便捷与高效工作的同时,网络犯罪也日益增多,为了防范网络犯罪与网络诈骗,学校举办“网络安全宣传倡议”活动.学校从全体学生中随机抽取了200人对“网络安全宣传倡议”的了解情况进行问卷调查,统计结果如下表所示: 男 女 合计 了解 70 125 不了解 45 合计 (1)根据所提供数据,完成列联表; (2)判断是否有95%的把握认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关. 参考公式:,其中. 参考数据: 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 18.设数列满足,且,. (1)求数列的通项公式; (2)设数列的前项和为,证明:. 19.在如图所示的几何体中,四边形为矩形,平面平面,四边形为直角梯形,且,,,点为棱的中点. (1)求证:; (2)若直线与直线所成角为,求直线与平面所成角的正弦值. 20.抛物线:()上一点与焦点的距离为3. (1)求的方程; (2)是的准线与轴的交点,过点的直线与相交于,两点,是线段的中点若直线的斜率为,求的方程 21.已知等差数列各项均不为零,为其前项和,点在函数的图像上. (1)求的通项公式; (2)若数列满足,求的前项和; (3)若数列满足,求的前项和的最大值、最小值. 22.设m为实数,函数. (1)当时,直线是曲线的切线,求的最小值; (2)已函数有两个不同的零点,(),若,且恒成立,求实数的范围.