精品解析：北京市第一七一中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题

2023北京一七一中高三（上）开学考 数学 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 若集合，或，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 在复平面内，复数所对应的点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 4. 二项式的展开式的第二项是 A. 6x4 B. ﹣6x4 C. 12x4 D. ﹣12x4 5. 设，则下列不等式中正确的是 A. B. C. D. 6. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. “”是“双曲线：的虚轴长为2”的（ ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 函数．若存在，使得，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 在等比数列中，，记（，2，…）.则数列（ ） A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 10. 已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为，大圆盘上所写的实数分别记为,如图所示.将小圆盘逆时针旋转次，每次转动，记为转动次后各区域内两数乘积之和，例如. 若，，则以下结论正确的是 A. 中至少有一个为正数 B. 中至少有一个为负数 C. 中至多有一个为正数 D. 中至多有一个为负数 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域为________. 12. 在中，，，则_______. 13. 已知过定点的直线与曲线相交于，两点.为坐标原点.当的面积最大时，直线的倾斜角为______. 14. 在四边形中，. 若，则=____. 15. 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动.给出下列四个结论： ①D1O⊥AC； ②存在一点P，D1O∥B1P； ③若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最大值为； ④若P到直线D1C1的距离与到点B的距离相等，则P的轨迹为抛物线的一部分. 其中所有正确结论序号是_________________. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在长方体中，四边形是边长为1的正方形，，，，分别是，，的中点 （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知函数． （Ⅰ）求的定义域； （Ⅱ）设，且，求的值． 18. 天文学上用星等表示星体亮度，星等的数值越小，星体越亮．视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球光年的地方测得的恒星的亮度，反映恒星的真实发光本领．下表列出了（除太阳外）视星等数值最小的10颗最亮恒星的相关数据，其中． 星名 天狼星 老人星 南门二 大角星 织女一 五车二 参宿七 南河三 水委一 参宿四 视星等 0.03 0.08 012 0.38 0.46 a 绝时星等 1.42 4.4 0.6 0.1 2.67 赤纬 （1）从表中随机选择一颗恒星，求它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率； （2）已知北京的纬度是北纬，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于时，能在北京的夜空中看到它．现从这10颗恒星中随机选择4颗，记其中能在北京的夜空中看到的数量为颗，求的分布列和数学期望； （3）记时10颗恒星的视星等的方差为，记时10颗恒星的视星等的方差为，判断与之间的大小关系．（结论不需要证明） 19. 已知函数 （1）已知直线与曲线相切，且与坐标轴围成等腰三角形，求直线方程； （2）已知，设曲线在点处的切线被坐标轴截得的线段长度为，求的最大值． 20. 已知椭圆的离心率是，且过点.直线与椭圆相交于两点. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求的面积的最大值； （Ⅲ）设直线，分别与轴交于点，.判断，大小关系，并加以证明. 21. 设数集满足：①任意，有；②任意、，有或，则称数集具有性质. （1）判断数集是否具有性质，并说明理由； （2）若数集且具有性质 （i）当时，求证：、、、是等差数列； （ii）当、、、不是等差数列时，写出的最大值.（结论不需要证明） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023北京一七一中高