1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（第1课时）-2023-2024学年高二数学教材配套教学精品课件（人教A版2019选择性必修第一册)

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第 一 章空间向量与立体几何 人教A版2019选修第一册 第一课时 空间中点、直线和平面的向量表示 学习目标 1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量 2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. 3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理. 4.能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系. 01复习回顾 PART ONE 复习回顾 平面向量 空间向量 代数运算 推广 建系 思考：空间向量解决了哪些几何问题？ 复习回顾 我们已经把向量由平面推广到空间，并利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的问题.我们发现，建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决几何问题的关键. 我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量向量表示空间中的点、直线和平面. 02点、直线和平面的向量表示 PART ONE 点的位置向量 思考1：如何用向量表示空间中的一个点P ？ P o 在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点就可以用向量来表示.我们把向量称为点的位置向量. 直线的方向向量 思考2：如何用向量表示空间中的直线 l ？ 几何表示 定点A＋一个方向 确定一条直线l 向量表示 定点A＋方向向量 如图所示，a是直线l的方向向量，在直线l上取= a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线可知： 点P在直线l上 存在实数t，使得= t a，即= t 充要条件 P a A B 取定空间中任一点O，有 即 ① ② a l P B A O 上式都称为空间直线的向量表示式. 空间任意直线由直线上一点A及直线的方向向量a唯一确定. ∴点A和向量a不仅能确定直线 l 的位置，还可以表示出直线 l 上的任意一点. 直线的方向向量 思考：如何理解直线的方向向量？ 直线的方向向量 (1)在空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与直线l平行或重合． (2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个． (3)表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等，因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们的方向不一定相同，还可能相反． 平面的向量表示式 思考3：如何用向量表示空间中的平面 我们知道，平面可以由内两条相交直线确定.如图，设两条相交直线交于点，它们的方向向量分别为和为平面内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对， 使得 点O与向量a，b不仅可以确定平面，还可以具体表示出 内的任意一点. 进一步地，如图，取定空间任意一点 O ，可以得到，空间一点 P 位于平面ABC 内的充要条件是存在实数 x，y， 使 . 我们把上式称为空间平面 ABC 的向量表示式. 由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定. 平面的向量表示式 平面的法向量 我们知道，给定空间一点和一条直线则过点且垂直于直线的平面是唯一确定的.由此可以利用点和直线的方向向量来确定平面. 如图，直线 .取直线的方向向量，我们称向量 为平面的法向量.给定一个点和一个向量那么过点，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 . 平面的法向量 平面法向量的性质 (1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量． (2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． 注意：　零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量 平面的法向量 03新知应用 PART ONE 新知应用 1.下列说法中正确的是(　　) A.直线的方向向量是唯一的 B.与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量 C.直线的方向向量有两个 D.平面的法向量是唯一的 B　 题型一：求直线的方向向量 2.若直线l过点A(-1,3,4),B(1,2,1),则直线l的一个方向向量可以是(　　) D　 3. 在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线BC1的一个方向向量为________．　 新知应用 题型一：求直线的方向向量 (0，0，1) (0，1，1) 新知应用 √ 题型一：求直线的方向向量 新知应用 理解直线方向向量的概念： (1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量． (2)直线的方向向量不唯一． 方法总结