1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（第2课时 夹角问题）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4.2 用空间向量研究 距离、夹角问题 第2课时 夹角问题 高二上学期 1 1、了解利用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离的基本思想，提升直观想象素养. 2、理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导，提升直观想象、逻辑推理素养. 3、体会向量方法在研究几何问题中的作用，提升逻辑推理和数学运算素养. 重点：空间距离的向量表示，用向量方法解决空间距离等度量问题. 难点：建立空间距离与向量之间的关系，并将空间距离等度量问题转化为空间向量问题. 学习目标 思考1：立体几何中有哪些夹角问题? 直线与直线所成角 直线与平面所成角 平面与平面所成角 思考2：如何用空间向量解决这些夹角问题呢？ 复习回顾 探究1：直线与直线所成角 本质：两直线所成角就是它们的方向向量所成角或其补角. 基底/坐标 一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得.也就是说，若异面直线，所成的角为，其方向向量分别是，则. 新知探究 例题：如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)中，分别为的中点，求直线和夹角的余弦值. 解：(化为向量问题)如图，以作为基底， 则. 设，则直线和夹角的余弦值等于. (进行向量运算) 又和为等边三角形，，则 (回到图形问题)所以直线和夹角的余弦值为. 典例精析 例题：在三棱锥中，， 分别为的中点，求异面直线和夹角的余弦值. E 解：法一(平移)：取中点，连接，， 即在利用余弦定理求 法二(向量)：设直线和的夹角为，， 则， ，， 所以 典例精析 变式：在三棱锥中，，求异面直线和夹角的余弦值. 解： 所以 设异面直线 的夹角为 习题演练 思考：以上我们用向量方法解决了异面直线和所成角的问题，你能用向量方法求直线与平面所成的角吗？ 探究2：直线与平面所成角 新知探究 类似地，直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.如图，直线与平面相交于点，设直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则 . 探究2：直线与平面所成角 新知生成 例题：如图，在正方体中，，，，，，分别是，，，，，的中点， (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的余弦值 解：(1)设正方体棱长为1，建系如图， 则，，， ， ∴， ∴，，∴，， 又，所以平面 典例精析 例题：如图，在正方体中，，，，，，分别是，，，，，的中点， (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的余弦值 解：由(1)知，平面的法向量为 设与平面所成角为， 所以， 所以， 即. 典例精析 探究3：平面与平面所成角 如图，平面与平面相交，形成____个二面角， 我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面与平面的夹角. 四 思考：两个平面的夹角与这两个平面形成的二面角的大小有何关系？ 相等/互补 新知生成 设直线与的方向向量分别为，，平面与平面的法向量分别为， 1、直线与直线所成角： 2、直线与平面所成角： 3、平面与平面所成角 二面角：先计算平面角再根据图分辨锐、钝二面角，添加正负号 归纳总结 例题：如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，点，分别在棱，上，，，求平面与平面夹角的余弦值. 解：(化为向量问题)以为原点，所在 直线为、、轴，建系如图.设平面的法向量为， 平面的法向量为，则平面与平面的夹角 就是与的夹角或其补角. (进行向量运算)因为面，所以面的法向量为. 又，所以 典例精析 例题：如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，点，分别在棱，上，，，求平面与平面夹角的余弦值. 解：设，则，所以， 所以，取， 则. (回到图形问题)设平面与平面的夹角为， 则 即平面与平面的夹角的余弦值为 典例精析 作在底面的投影得到，作，连接，所以平面与平面夹角的余弦值为_________. 新知探究 例题：如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，点，分别在棱，上，，，求平面与平面夹角的余弦值. 解：由题意， 则，，， 设平面与平面的夹角为， 则 典例精析 解：(1)设正方体棱长为1，，建系如图， 则，，， ∴， ∴，∴， 16、棱长为的正方体中，分别是棱，上的动点，且. (1)求证：； (2)当三棱锥的体积取最大值时，求平面与夹角的正切值. 习题演练 解：(2)设正方体棱长为1，，建系如图， 则 当且仅当，即时等号成立， 16、棱长为的正方体中，分别是棱，上的动点，且. (1)求证：； (2)当三棱锥的体积取最大值时，求平面与夹角的正切值. 习题演练 16、棱长为的正方体中，分别是棱，上的动点，且. (1)求证：； (2)当三棱锥的体积取最大值时，求平面与夹角的正切值. 解：(2)此时，， ， 设平面的法向量为， 则，所以， 令，则，所以， 则，所以. 习题演练 16、棱长为的正方体中，分别是棱，上的动点，且. (1)求证：； (2)当三棱锥的体积取最大值时，求平面与夹角的正切值. 解：(2)优解：取中点. 习题演练 例题：如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点. (1)求证：平面； 解：以为原点，，，所在直线分别为、、轴建系如图， 设. (1)证明：连接，交于点，连接. 依题意得. 底面是正方形，点是它的中心，故点， 且，.所以，即. 而平面，且平面，因此平面. 典例精析 例题：如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点. (2)求证：平面； 解：(2)证明：依题意得. 又，故 所以. 由已知，且，所以平面. 典例精析 例题：如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点. (3)求平面与平面的夹角的大小. 解：(3)已知，由(2)可知， 故是平面与平面的夹角. 由(2)可知点，则. 因为，所以 即. 设，则. 所以，点. 典例精析 解：(3)又点的坐标为，所以. 所以. 所以，即平面与平面的夹角大小为. 例题：如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点. (3)求平面与平面的夹角的大小. 典例精析 练习：和所在平面垂直，且， ，求： (1)直线与直线所成角的大小. (2)直线与平面所成角的大小. (3)平面和平面的夹角的余弦值. 解：(1)在平面内过点作垂直于交的延长线于点，连接， 设，易证得全等于，所以， 所以面，所以，即直线与直线所成角为. (2)因为，，所以， 所以直线与平面所成角为. 习题演练 练习：和所在平面垂直，且， ，求： (3)平面和平面的夹角的余弦值. 解：(3)由题意两两垂直，建系如图. 则， 所以 易知平面的法向量为 习题演练 练习：和所在平面垂直，且， ，求： (3)平面和平面的夹角的余弦值. 解：(3) 设平面的法向量为， 则，所以，令，则，， 所以， 设平面和平面的夹角为， 则. 习题演练 例题：图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的夹角均为已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同.求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度取，精确到). 解：设水平面的单位法向量为，其中一根绳子的拉力为. 因为，所以在上的投影向量为. 所以8根绳子拉力的合力 又因为降落伞匀速下落，所以 所以 所以 典例精析 思考：通过本节的学习，你对立体几何中的向量法是否有了一定的认识？请结合例题就下面的框图谈谈体会. 用空间向量表示立体图形中点、直线、平面等元素 进行空间向量的运算，研究点、直线、平面之间的关系 把运算结果“翻译”成相应的几何意义 解决立体几何中的问题，可用三种方法：综合法、向量法、坐标法. 思考：你能说出它们各自的特点吗？ 综合法以逻辑推理作为工具解决问题；向量法利用向量的概念及其运算解决问题，如本节的例7、例9；坐标法利用数及其运算来解决问题，坐标法经常与向量法结合起来使用，如本节的例6，例8，例10.对于具体的问题，应根据它的条件和所求选择合适的方法. 归纳总结 设直线与的方向向量分别为，，平面与平面的法向量分别为， 1、直线与直线所成角： 2、直线与平面所成角： 3、平面与平面所成角 二面角：先计算平面角再根据图分辨锐、钝二面角，添加正负号 课堂小结 (1)整理本节课的题型； (2)课本P38的练习1、3、4题； (3)课本P41的练习2、3题； (4)课本P43习题1.4第10、15题. 作业布置 谢 谢 观 看 ！ 高二上学期 $$