第一章 空间向量与立体几何（章末小结）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

章末小结 选择性必修第一册 第一章 《空间向量与立体几何》 1 知识网络 本章学习目标 (1)了解空间向量的相关概念； (2)理解共线向量定理、共面向量定理、空间向量基本定理； (3)会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，并进行向量的加法和减法运算，了解向量加法的交换律和结合律； (4)掌握空间向量数乘、数量积运算的意义及运算律； (5)会用空间向量的基底法和坐标法，证明立体几何中的平行或垂直问题，求解空间中的距离和夹角问题； 知识梳理——1.空间向量相关概念 空间向量的定义：空间中，既有大小又有方向的量 空间向量的符号：,… 空间向量的图示：有向线段及其长度 空间向量的模(长度)：空间向量的大小，记作||,||,… 零向量：长度为0(起点与终点重合)的向量，记作 单位向量：长度为1的向量，记作 相反向量：长度相等且方向相反的向量. 的相反向量是-；的相反向量是 8. 相等向量：长度相等且方向相同的向量(与起点无关) 知识梳理——1.空间向量相关概念 9. 共线(平行)向量：(定义1)若干有向线段所在直线互相平行或重合的空间向量； (定义2)若干方向相同或相反的空间向量； 10. 向量与平面平行：若表示向量的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，则称向量平行于平面α. 11. 共面向量：平行于同一个平面的向量. ②任意两个空间向量必共面. ③任意三个空间向量可能共面，也可能不共面. 注：①共面向量所在直线可能平行、重合、相交或异面. 知识梳理——1.空间向量相关概念 12.直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量，一条直线的方向向量有无数个． 13.平面的法向量：直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量． 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝λn2 l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 直线l的方向向量为n， 平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔n·m＝0 l⊥α n∥m⇔n＝λm 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝λm α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 知识梳理——1.空间向量相关概念 长度比+方向 14. 投影向量： 知识梳理——1.空间向量相关概念 15. 空间直角坐标系： 在空间选定一点O和一个单位正交基底{, , }，以点O为原点，分别以i, j, k的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立一个空间直角坐标系O-xyz. ||＝||＝||＝1. ·＝·＝·＝0 ①点O叫做原点，向量,, 都叫做坐标向量. ②通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面， 分别称为Oxy平面，Oyz平面，Oxz平面. 它们把空间分成8个部分. 知识梳理——1.空间向量相关概念 15. 空间直角坐标系： ③画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135(或45°)，∠yOz=90°. ④空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向， 食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向， 则称该坐标系为右手直角坐标系. 知识梳理——1.空间向量相关概念 16.空间点的坐标：在单位正交基底{, , }下，=x+y+z，则有序实数组(x,y,z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标. 17.空间向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一向量，作=(如图), 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x, y, z)，使=x+y+z. 把有序实数组(x, y, z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，简记作＝(x, y, z). 以坐标原点O为起点的向量的坐标和终点A的坐标相同。 知识梳理——1.空间向量相关概念 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 xOy平面 xOz平面 yOz平面 点的坐标 (x, 0, 0) (0, y, 0) (0, 0, z) (x, y, 0) (x, 0, z) (0, y, z) 已知点A(x , y , z) ，则： ①点A关于x轴对称的点为A1___________; ②点A关于y轴对称的点为A2___________; ③点A关于z轴对称的点为A3___________. ④点A关于原点对称的点为A4___________. ⑤点A关于Oxy平面对称的点为A5 __________; ⑥点A关于Oxz平面对称的点为A6 __________; ⑦点A关于Oyz平面对称的点为A7 __________. (x , y , -z) (-x ,