专题48 直线的方程-2024年新高考数学一轮复习讲义之题型归类与强化测试（新高考专用）

专题48直线的方程 知识梳理 考纲要求 考点预测 常用结论 方法技巧 题型归类 题型一：直线的倾斜角与斜率 题型二：求直线的方程 题型三：直线方程的综合应用 培优训练 训练一： 训练二： 训练三： 训练四： 训练五： 训练六： 强化测试 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 一、【知识梳理】 【考纲要求】 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系. 【考点预测】 1.直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角； (2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°； (3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α<180°}. 2.直线的斜率 (1)定义：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan__α. (2)计算公式 ①经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝. ②设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，则向量＝(x2－x1，y2－y1)以及与它平行的向量都是直线的方向向量.若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝. 3.直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、斜率 y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率 y－y0＝k(x－x0) 两点式 过两点 ＝ 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距 ＋＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 所有直线 【常用结论】 直线的斜率k与倾斜角α之间的关系 α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k 0 k>0 不存在 k<0 牢记口诀： 1．“斜率变化分两段，90°是分界线； 遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”． 2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意． 3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量a＝(－B，A)． 【方法技巧】 1.斜率的两种求法：定义法、斜率公式法． 2.倾斜角和斜率范围求法：①图形观察(数形结合)；②充分利用函数k＝tan α的单调性． 3.求直线方程一般有以下两种方法： ①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程． ②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数，即得所求直线方程． 4.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件，特别是对于点斜式、截距式方程，使用时要注意分类讨论思想的运用． 5.直线过定点问题可以利用直线点斜式方程的结构特征，对照得到定点坐标． 6.求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积． 7.求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解． 二、【题型归类】 【题型一】直线的倾斜角与斜率 【典例1】直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的变化范围是(　　) A.　　 B. C.　　 D. 【典例2】过函数f(x)＝x3－x2的图象上一个动点作函数图象的切线，则切线倾斜角的取值范围为(　　) A.　　 B.∪ C.　　 D. 【典例3】若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈∪，则k的取值范围是________． 【题型二】求直线的方程 【典例1】经过点P(2，－3)，且倾斜角为45°的直线方程为(　　) A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0 C．x－y＋5＝0 D．x－y－5＝0 【典例2】已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是(　　) A．x＋y－3＝0 B．x－3y－2＝0 C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0 【典例3】经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－3,2)的直线方程为__________． 【题型三】直线方程的综合应用 【典例1】已知直线l过点M(2，1)，且分别与x