2.2根与系数的关系（韦达定理）讲义-2023年初升高数学衔接

根与系数的关系(韦达定理) 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两个实数根 x=-b+-4c,6=b-4ac 2a 2a 则有 =b+vb2-4ac +-b-vB2-4ac-2b。b 2a 2a 2a 5=-b+-4ac.-b-6-4ae_分-2-4a@4ac-e」 2a 2a 4a2 4a2 所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系: 如果2十bx十c=0(判)的两根分别是x1,2,那么十2= -b,心=二.这一关系也被称为韦达定理. 特别地,对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px十q=0,若 ,是其两根,由韦达定理可知 x1十x2=一p,x13=q: 即 p=一(1十x2),q='3, 所以,方程x2+px十q=0可化为x2-(:十x十xx2=0,由于, 是一元二次方程x2十px十q=0的两根,所以,:,2也是一元二次 方程x2一(x十2)x十x9=0.因此有 以两个数x,2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 x2一(1十x2x十x1x2=0. 例2已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2,求它的另一个根及k 的值. 分析:由于己知了方程的一个根,可以直接将这一根代入,求出 k的值,再由方程解出另一个根,但由于我们学习了韦达定理,又可 以利用韦达定理来解题,即由于已知了方程的一个根及方程的二次项 系数和常数项,于是可以利用两根之积求出方程的另一个根,再由两 根之和求出k的值. 解法一:2是方程的一个根, .∴.5×22+k×2-6=0, .k=-7. 所以,方程就为5x2-7x一6=0,解得=2,=- 所以,方程的另一个根为一},k的值为一7, 解法二:设方程的另一个根为,则2=一号=一} 由 (-+2=-答得=-7 所以,方程的另一个根为一;,k的值为一7. 例3己知关于x的方程x2+2(m一2)x十m2+4=0有两个实数 根,并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,求m的值, 分析:本题可以利用韦达定理,由实数根的平方和比两个根的 积大21得到关于m的方程,从而解得m的值.但在解题中需要特别 注意的是,由于所给的方程有两个实数根,因此,其根的判别式应大 于零 解:设,是方程的两根,由韦达定理,得 +x=一2(m一2),x12=m2+4. ,x2+2-x12=21, ∴(x1十2)2-301x2=21, 即【-2(m-2]2-3(m2+4)=21, 化简,得m2-16m-17=0, 解得m=-1,或m=17. 当m=-1时,方程为x2+6x+5=0,△>0,满足题意; 当m=17时,方程为x2+30x+293=0,△=302-4×1×293 <0,不合题意,舍去 综上,m=17. 说明:(1)在本题的解题过程中,也可以先研究满足方程有两个 实数根所对应的m的范围,然后再由“两个实数根的平方和比两个根 的积大21”求出m的值,取满足条件的m的值即可 (1)在今后的解题过程中,如果仅仅由韦达定理解题时,还要 考虑到根的判别式△是否大于或大于零.因为,韦达定理成立的前提 是一元二次方程有实数根. 例4己知两个数的和为4,积为一12,求这两个数. 分析:我们可以设出这两个数分别为x,y,利用二元方程求解出 这两个数.也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解。 解法一:设这两个数分别是x,y, 则x十y=4, ① y=-12. ② 由①,得y=4一x, 代入②,得 x(4-x)=-12, 即 $$x ^ { 2 } - 4 x - 1 2 = 0 ,$$ $$\therefore x _ { 1 } = - 2 , x _ { 2 } = 6 .$$ $$\therefore \left\{ \begin{array}{l} x _ { 1 } = - 2 \\ y _ { 1 } = 6 , \end{array} \right.$$ 或 $$\left\{ \begin{array}{l} x _ { 2 } = 6 , \\ { y _ { 2 } } = - 2 . \end{array} \right.$$ 因此,这两个数是一2和6. 解法二:由韦达定理可知,这两个数是方程 $$x ^ { 2 } - 4 x - 1 2 = 0$$ 的两个根. 解这个方程,得 $$x _ { 1 } = - 2 , x _ { 2 } = 6 .$$ 所以,这两个数是 -2 和 6 说明:从上面的两种解法我们不难发现,解法二(直接利用韦达 定理来解题)要比解法一简捷. 例5 若 $$x _ { 1 }$$ 和 $$x _ { 2 }$$ 分别是一元二次方程 $$2 x ^ { 2 } + 5 x - 3 = 0$$ 的两根. (1)求|. $$x _ { 1 } - x _ { 2 } |$$ 的值; (2)