1.3.1正方形的性质 课件 2023—2024学年北师大版数学九年级上册

1.3 正方形的性质和判定 第一章 特殊的平行四边形 第1 课时 正方形的性质 学习目标 1.能熟练说出正方形的定义，会画出它与菱形、矩形、平行四边形的关系图。 2.探索并证明正方形的性质，并会用其来解决相关问题。 观察与思考 正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.你能举出一些例子吗？ 思考：什么是正方形？和平行四边形、菱形、矩形有什么关系呢？ 新课探究 活动1：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，得到一个四边形. 问题1：折叠后得到的特殊四边形是什么四边形？ 正方形 有一组邻边相等 新课探究 活动2：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状. 问题2：经过变化后得到特殊四边形是什么四边形？ 定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 有一个角是直角 正方形 图形关系 有一个角是直角 有一组邻边相等 有一组邻边相等 有一个角是直角 有一组邻边相等且有一个角是直角 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 思考1： 正方形是矩形吗？正方形是菱形吗？ 思考2： 正方形的性质有哪些呢？ 猜想归纳 正方形的性质： A B C D 填一填： 角： 边： 对角线： 对称性： 四个角都是直角 四条边相等，对边平行，邻边垂直 a a a a 轴对称图形、中心对称图形 1.正方形的四个角都是直角,四条边相等. 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分. 定理 相等且互相垂直平分 如何证明？ 定理证明 已知：如图,四边形ABCD是正方形，∠BAD=90°, AB=BC. 求证：（1）∠BAD=∠ABC =∠BCD =∠CDA = 90°，AB= BC=CD=AD ； （2）AO=BO=CO=DO,AC⊥BD. 证明： （1）∵正方形ABCD. ∴正方形ABCD是矩形（矩形的定义）, 正方形ABCD是菱形(菱形的定义). ∴∠BAD=∠ABC =∠BCD =∠CDA = 90°(矩形的性质）， AB= BC=CD=AD （菱形的性质）， （2）∵正方形ABCD. ∴正方形ABCD是矩形（矩形的定义）, 正方形ABCD是菱形(菱形的定义). ∴AO=CO=AC，BO==DO=BD .（平行四边形的性质） AC⊥BD（菱形的性质）. AC=BD (矩形的性质） ∴AO=BO=CO=DO 相等 直角 相等且互相垂直平 分 对角 AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，AD∥BC AC＝BD，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，∠BAC＝∠DAC＝∠ADB＝∠BDC＝∠ACD＝∠ACB＝∠CBD＝∠ABD BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC ＝90° 1. 如图，正方形ABCD的对角线相交于点O. (1)若周长为4，则对角线长为_______，面积为_______； (2)图中共有_______个等腰直角三角形． 1 8 2.如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，则BF的长是 (　　) 　A. 1　　　　 　B. 　　 　　 　C. 　　　　 　D．2 课堂总结：已知正方形的边长、对角线、周长、面积中任意一项，可求出另外三项. C 4.【教材改编】(BS九上P22)如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形． (1)求证：△ABE≌△DCE； 证明：∵四边形ABCD是正方形， △EBC是等边三角形， ∴BA＝BC＝CD＝BE＝CE， ∠ABC＝∠BCD＝90°， ∠EBC＝∠ECB＝60°， ∴∠ABE＝∠ECD＝30°， 在△ABE和△DCE中， ∴△ABE≌△DCE(SAS)； (2)求∠AED的度数． 解：∵BA＝BE，∠ABE＝30°， ∵∠BAD＝90°， ∴∠EAD＝90°－75°＝15°， 同理可得∠ADE＝15°， ∴∠AED＝180°－15°－15°＝150°. ∴∠BAE＝ (180°－30°)＝75°， 【变式】四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形． 求∠AED的度数． 6.如图，P为AB上任意一点，分别以AP，PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF.设∠CBE＝α，则∠AFP为