第十一章 教材变式专题：与三角形角平分线相关的求角度模型 正文（作业课件）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级上册初二数学同步备课（人教版）

2023秋季学期 《学练优》·八年级数学上·RJ 类型一　两内角平分线的夹角 【教材P29复习题T11变式】 【模型推理】1．如图，在△ABC中，P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点．有位同学得出∠BPC＝90°＋ ∠A 的结论，你认为正确吗？请给出理由． 解：正确．理由如下：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC＋∠PCB＝ (∠ABC＋∠ACB) ＝ (180°－∠A)＝90°－ ∠A.∴∠BPC＝180°－(∠PBC＋∠PCB) ＝180°－(90°－ ∠A) ＝90°＋ ∠A. 【模型应用】2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点E.若∠BED＝45°，则∠C的度数为 90°. 3．如图，在△ABC中，∠A＝80°，点O是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，点P是∠BOC和∠OCB的平分线的交点．若∠OPC＝100°，则∠ACB的度数为 . 【解析】∵点P是∠BOC和∠OCB的平分 线的交点， ∴∠OPC＝90°＋ ∠OBC＝100°. ∴∠OBC＝20°. ∴∠ABC＝2∠OBC＝40°. ∴∠ACB＝180°－∠ABC－∠A ＝60°. 4．如图，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的三等分线(∠DBC＝ ∠ABC，∠DCB＝ ∠ACB)，则∠D与∠A之间存在的数量关系是∠D＝120°＋ ∠A . 【延伸设问】若BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的n等分线(∠DBC＝ ∠ABC，∠DCB＝ ∠ACB)，则∠D与∠A之间存在的数量关系是 ∠D＝180°－ (180°－∠A) (用含n的式子表示)． 类型二　一内角平分线与一外角平分线的夹角 5．如图，在△ABC中，E是边BC延长线上一点，∠ABC的平分线BO与∠ACE的平分线CO交于点O.求证：∠BOC＝ ∠A. 证明：∵∠ABC的平分线BO与∠ACE的平分线CO交于点O，∴∠ABO＝∠CBO＝ ∠ABC， ∠ECO＝∠ACO＝ ∠ACE.∴∠BOC＝∠ECO－∠OBC ＝ ∠ACE－ ∠ABC ＝ (∠ACE－∠ABC)＝ ∠A. 【模型拓展】6．如图，在△ABC中，∠BAC＝m°，P1是△ABC的内角∠ABC的平分线BP1与外角∠ACE的平分线CP1的交点，P2是△BP1C的内角∠P1BC的平分线BP2与外角∠P1CE的平分线CP2的交点，…，Pn是△BPn－1C的内角∠Pn－1BC的平分线BPn与外角∠Pn－1CE的平分线CPn的交点， 则∠Pn的度数为 . 7．(2022·巴中平昌县期末)如图，在△ABC中，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，∠D＝15°，则∠A的度数为( A )A．30° B．45° C．20° D．22.5° 【模型应用】 8．如图，△ABC中，∠A＝50°，BP，CP，BM，CM分别是∠ABC，∠ACD，∠PBC，∠PCB的平分线， 则∠M的度数为 102.5°. 9．(2022－2023·天门期中)如图，∠XOY＝90°，点A是射线OX上的一个动点，点B是射线OY上的一个动点，BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C.(1)当∠OAB＝50°时， 求∠ACB的度数； 解：(1)∵∠AOB＝90°，∠OAB＝50°，∴∠ABY＝∠AOB＋∠OAB＝140°.∵AC平分∠OAB，BE平分∠ABY，∴∠1＝∠2＝ ∠OAB＝25°， ∠3＝∠4＝ ∠ABY＝70°.∵∠4＝∠ACB＋∠1， ∴∠ACB＝∠4－∠1＝45°. (2)试问动点A，B分别在射线OX，OY上运动的过程中，∠ACB的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点A，B的运动发生变化，请求出变化的范围． (2)∠ACB的大小不发生变化．证明如下：∵AC平分∠OAB，BE平分∠ABY，∴∠1＝ ∠OAB，∠4＝ ∠ABY.∵∠4＝∠ACB＋∠1，∴∠ACB＝∠4－∠1 ＝ ∠ABY－ ∠OAB ＝ (∠ABY－∠OAB)＝ ×90°＝45°. 类型三　两外角平分线的夹角 【模型推理】10．(1)如图，BO平分△ABC的外角∠CBD，CO平分△ABC的外角∠BCE，则∠BOC与∠A的关系为∠BOC＝90°－ ∠A；(2)请就(1)中的结论进行证明． 证明：如图，∵BO，CO分别是△ABC 的外角∠DBC，