第十一章 教材变式专题：与三角形高相关的求角度模型 正文（作业课件）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级上册初二数学同步备课（人教版）

2023秋季学期 《学练优》·八年级数学上·RJ 1．(教材P14例3变式)(2022－2023·贵州期中)如图，已知AD，CE是△ABC的高．试判断∠1与∠2的数量关系，并说明理由． 类型一　不同顶点处的两条高 解：∠1＝∠2. 理由如下：∵AD，CE是△ABC的高，∴∠ADB＝∠CEB＝90°.∴∠2＋∠B＝90°，∠1＋∠B＝90°. ∴∠1＝∠2. 【结论变式】(2022·乐平市期末)在△ABC中，两条高BD，CE所在的直线相交于点O.(1)当∠BAC为锐角时，如图①，求证：∠BOC＋∠BAC＝180°； (1)证明：∵BD，CE是△ABC的两条高，∴∠ADB＝∠CEB＝90°.∴∠BAC＋∠ABD＝90°， ∠BOE＋∠ABD＝90°.∴∠BAC＝∠BOE.∵∠BOC＋∠BOE＝180°，∴∠BOC＋∠BAC＝∠BOC＋∠BOE＝180°. (2)当∠BAC为钝角时，如图②，请在图②中画出相应的图形(用三角尺)，并回答(1)中结论是否成立，不需证明 (2)解：如图②所示．(1)中结论成立．　 解析：∵BD，CE是△ABC的两条高， ∴∠OEB＝∠BDC＝90°. ∴∠BOC＋∠OBE＝90°， ∠DAB＋∠OBE＝90°. ∴∠BOC＝∠DAB. ∵∠DAB＋∠BAC＝180°， ∴∠BOC＋∠BAC＝∠DAB＋∠BAC＝180°. 【结论应用】(2022·新乡封丘县期末)在△ABC中，高BD和CE所在直线相交于点O，若△ABC不是直角三角形，且∠A＝70°，则∠BOC＝110°或70°. 类型二　不同顶点处的角平分线与高结合求角度 2．(2022－2023·孝义市期中)如图，已知△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC，AD与BE相交于点P，∠ABC＝70°，∠C＝40°，求∠CAD和∠DPE的度数． 解：∵△ABC中，∠ABC＝70°，∠C＝40°，AD是BC边上的高，∴∠ADC＝90°.∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－40°＝50°.∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝ ∠ABC＝35°.∴∠DPE＝∠CBE＋∠BDP ＝35°＋90°＝125°. 【图形变式】如图，已知△ABC中，BE平分∠ABC，点F是射线BA上一点，过点F作FD⊥BC，垂足为D，FD与BE交于点P.已知∠BAC＝80°，∠C＝30°，求∠DPE的度数． 解：在△ABC中， ∠ABC＝180°－∠BAC－∠C ＝70°. 【延伸设问】写出∠DPE与∠ABC之间的数量关系：∠DPE＝90°＋ ∠ABC . ∵FD⊥BC，BE平分∠ABC，∴∠PDB＝90°， ∠CBE＝ ∠ABC＝35°.∴∠DPE＝∠CBE＋∠PDB ＝35°＋90°＝125°. 类型三　同一顶点处的角平分线与高结合求角度 3．(教材P29复习题T8变式)如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，已知∠ABC＝α，∠ACB＝β(α＞β)．(1)若α＝55°，β＝35°， 则∠DAE＝10°； (2)小明说：“无需给出α，β的具体度数，只需确定α与β的差值，即可固定∠DAE的度数．”请通过计算验证小明的说法是否正确． 解：∵∠ABC＝α，∠ACB＝β，∴∠BAC＝180°－α－β. ∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝ ∠BAC ＝ (180°－α－β)．∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°. ∴∠BAD＝90°－α.∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD ＝ (180°－α－β)－(90°－α)＝ (α－β)．∴∠DAE的度数与α，β的具体度数无关， 只和α与β的差值有关．∴小明的说法是正确的． 【图形变式】(1)在图①中，∠B＝x，∠C＝y (x＞y)，其他条件不变，若把“AD是△ABC的高” 改为“F是线段AE上一点，FD⊥BC于D”， 试用x，y表示∠DFE＝ (x－y)； (直接写结果) 图① (2)在图②中，若把(1)中的“点F是线段AE上一点”改为“点F是AE延长线上一点”， 其余条件不变，试用x，y表示∠DFE＝ (x－y)．(直接写结果) 图② 【逆向变式】(2022·温州期中改编)如图，在△ABC中，CE⊥AB于E，CD平分∠ACB，∠ACE＝ ∠B，且∠ECD＝10°，∠A＞∠B，求∠B的度数． 解：∵CE⊥AB，∴∠A＝90°－∠ACE＝90°－ ∠B.易知∠ECD＝ (∠A－∠B)＝10°，∴90°－ ∠B－∠B＝20°.∴∠B＝40°. 【易错变式】在△ABC中，CD和CE分别是角平分线和高，若∠ECD＝10°，∠ACB＝80°，求∠A的度数．