12.3 角的平分线的性质 正文（作业课件）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级上册初二数学同步备课（人教版）

2023秋季学期 《学练优》·八年级数学上·RJ 知识点一　角平分线的作法 1．如图①，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线． 如图②，作法步骤如下： 第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E； 第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P； 第三步：画射线BP.射线BP即为所求． 下列说法正确的是( B ) A．a，b均无限制 B．a＞0，b＞DE的长 C．a有最小限制，b无限制 D．a≥0，b＜DE的长 2．如图，已知△ABC，作角平分线BD(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明)． 解：如图，BD即为所求． 3．点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于10，点Q是OB边上的任意一点，下列选项正确的是( C ) A．PQ＜10 B．PQ＞10 C．PQ≥10 D．PQ≤10 知识点二　角平分线的性质 4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E. (1)若CD＝2，则DE的长为 2 ； (2)若BC＝4，DE＝1.6， 则BD的长为 2.4 . 5．(2022·北京中考)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB.若AC＝2，DE＝1， 则S△ACD＝ 1 . 知识点三　角平分线的性质的综合运用 6．如图，两条笔直的公路l1，l2相交于点A，村庄C的村民在公路的旁边建了三个加工厂A，B，D.已知AB＝BC＝CD＝DA＝5 km，村庄C到公路l1的距离为4 km，则村庄C到公路l2的距离是( B ) A．3 km B．4 km C．5 km D．6 km 7．(易错题)如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M，N分别是垂足．求证：PM＝PN. 证明：∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠CBD. 在△ABD和△CBD中，AB＝BC， ∠ABD＝∠CBD， BD＝BD， ∴△ABD≌△CBD(SAS)． ∴∠ADB＝∠CDB. ∴∠ADP＝∠CDP，即DP平分∠ADC. ∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN. 8．如图，已知∠BAC与∠ACD的平分线交于点O，OE⊥AC于点E，且OE＝3 cm，则点O到AB，CD的距离之和是( B ) A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm 【逆向变式】 如图，AB∥CD，∠BAC与∠ACD的平分线交于点P，过P作PE⊥AB于E，交CD于F，EF＝10，则点P到AC的距离为 5 . 9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E.已知AB＝10 cm，则△DEB的周长为 10 cm. 10．(改编题)如图，＝ ，AD为△ABC的角平分线． (1) 的值为 ； (2)若BC＝10，则BD＝ 6 . 11．如图，已知BF平分△ABC的外角∠ABE，D为射线BF上一动点．若DA＝DC， 求证：∠ABC＝∠ADC. 证明：如图，过D作DM⊥BE于M，DN⊥AB于N. ∵BF平分∠ABE，∴DM＝DN. ∵DA＝DC， ∴Rt△CDM≌Rt△ADN(HL)． ∴∠DAB＝∠DCB. ∵∠DAB＋∠ADC＝∠DCB＋∠ABC， ∴∠ABC＝∠ADC. 12．【感知】如图①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC；(不必证明) 【探究】如图②，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°， 求证：DB＝DC； 证明：如图②，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC交AC的延长线于F，则∠F＝∠DEB＝90°. ∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF. ∵∠B＋∠ACD＝180°， ∠ACD＋∠FCD＝180°， ∴∠B＝∠FCD. 在△DEB和△DFC中，∠DEB＝∠F， ∠B＝∠FCD，DE＝DF， ∴△DEB≌△DFC(AAS)．∴DB＝DC. 【应用】如图③，在四边形ABDC中， ∠B＋∠C＝180°，DB＝DC，DE⊥AB， 且BE＝a，则AB－AC＝ 2a (用含a的式子表示)． 【解析】如图③，连接AD，过点D作DF⊥AC交AC的延长线于F. ∵DE⊥AB，∴∠DFC＝∠DEB＝90°. ∵∠B＋∠ACD＝180°， ∠ACD＋∠FCD＝180°，∴∠B＝∠FCD. 在△DFC和△DEB中， ∠DFC＝∠DEB，∠FCD＝∠B， DC＝DB， ∴△DFC≌△DEB(AAS)． ∴DF＝DE，CF＝BE. 三角形中由角平分线得到的结论(如图)：＝＝. 如T10可用此结论求解． 在Rt△ADF和Rt△ADE中， AD＝AD，DF＝DE， ∴R