12.3角的平分线的性质 课时作业2024—2025学年人教版数学八年级上册

12.3角的平分线的性质 课时作业2024—2025学年人教版八年级上册数学 一、单选题 1．如图，点P是∠BAC的平分线上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，E、F分别为垂足，①PE＝PF，②AE＝AF，③∠APE=∠APF，上述结论中正确的有（ ）个. A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2．观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是： A．OE平分∠AOB B．点C、D到OE的距离不一定相等 C．OC＝OD D．点E到OA、OB的距离一定相等 3．已知：在中，，平分交BC于D，若，且，则点D到AB边的距离为（    ） A．18 B．12 C．14 D．16 4．如图，在四边形中，，和的延长线交于点E，若点P使得，则满足此条件的点P有（    ）    A．1个 B．2个 C．5个 D．无数个 5．如图，在，上分别截取，，使，再分别以点，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，就是的角平分线．这是因为连接，，可得到，根据全等三角形对应角相等，可得．在这个过程中，得到的条件是（    ） A． B． C． D． 6．如图，中，，平分交于点D，，，则D到的距离为（    ） A． B． C． D． 7．下列命题中，是假命题的是（    ） A．内错角相等 B．对顶角相等 C．两点之间线段最短 D．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．现有下列结论：①AD平分∠BAC；②AD⊥BC；③AD上任意一点到AB、AC的距离相等；④AD上任意一点到BC两端点的距离相等．其中正确结论的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 9．如图，中，是的角平分线，是边上的中线，若的面积是30，，则的面积是 ．    10．如图，在锐角中，，，，AD平分，M、N分别是AD和AB上的动点，则的最小值是 cm．    11．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是 ． 12．如图，在中，，以点C为圆心，以小于的长为半径画弧，分别交，于点E，F；再分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点O，作射线交于点G．若，，H为上一动点，则最短为 ． 13．点在二，四象限的角平分线上，则的值为 ． 三、解答题 14．如图，在△ABC中，∠BAC = 70°，∠C = 60°， （1）尺规作图：求作∠ABC的平分线BD，交AC于点D； （2）求∠BDC的度数． 15．如图，是的角平分线，且，，． (1)求的度数． (2)若，点F是上的动点，求的最小值． 16．如图，点D到三边的距离相等，连接BD、AD，BD的延长线交AC于点E，，求的度数． 17．如图，在中，为边上的高，是的角平分线，点F为上一点，连接，．    (1)求证：平分； (2)连接交于点G，若，求证：； (3)在（2）的条件下，当，时，求线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B B D D A A D 1．A 【分析】由P是∠BAC的平分线上一点，PE⊥AB，PF⊥AC可以证明△PEA≌△PFA，然后利用全等三角形的性质即可得到题目的三个结论． 【详解】解：∵点P是∠BAC的平分线上一点， ∴∠PAE＝∠PAF， ∵PE⊥AB，PF⊥AC，E、F分别为垂足， ∴∠AEP＝∠AFP＝90°，AP=AP ∴△PEA≌△PFA， ∴PE＝PF，AE＝AF，∠APE＝∠APF． 故①②③都正确． 故选A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质；题目主要利用角平分线来构造全等三角形，然后利用全等三角形的性质即可解决问题． 2．B 【详解】试题解析：根据尺规作图的痕迹可知，OE平分∠AOB，OC=OD，点E到OA、OB的距离一定相等，故A、C、D不符合题意.故选B． 3．B 【分析】根据题意求出DC，再根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴DC=×36=12， ∵AD平分∠BAC，∠C=90°， ∴点D到AB边的距离等于CD=12， 故选：B． 【点睛】本题考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质是解答的关键． 4．D 【分析】由题意知，的平分线上的点，到、两边的距离相等，则当点P在的平分线上时，满足，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，的平分线上的点，到、两边的距离相等， ∴当点P在的平分线上时， ∴，， ∵， ∴， ∴满足此条件的点P有无数个， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 5．D 【分析】利用证明即可． 【详解】解：由作图可知，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和尺规作图，解题的关键是理解题意，掌握证明三角形全等是关键． 6．A 【分析】作于E，根据题意求出，根据角平分线的性质求出． 【详解】解：作于E， ∵平分，，， ∴， 即点D到的距离为， 故选：A． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 7．A 【分析】根据平行线的性质，对顶角的性质，线段公理，角平分线的性质定理逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】A、内错角相等，是假命题， B、对顶角相等，是真命题， C、两点之间线段最短，是真命题， D、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，是真命题． 故选：A． 【点睛】本题主要考查真假命题，掌握平行线的性质，对顶角的性质，线段公理，角平分线的性质定理，是解题的关键． 8．D 【分析】根据角平分线的性质可知①正确，利用等腰三角形底边上的中线、高线与顶角的角平分线三线合一，可得②④正确；利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可得③． 【详解】解：①∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD平分∠BAC， 故①正确； ②∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC． 故②正确； ③∵AD是△ABC的角平分线，角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴AD上任意一点到边AB、AC的距离相等． 故③正确； ④∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴BD＝CD， 即AD是BC的垂直平分线， ∴AD上任意一点到BC两端点的距离相等； 故④正确． 所以①、②、③、④均正确， 故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质等知识．根据相关知识对各选项进行逐个验证是正确解答本题的关键． 9．9 【分析】本题考查了三角形的角分线的性质、中线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是角分线上的点到角的两边的距离相等．先求出点D到、的距离，然后再根据三角形的中线的性质即可得结论． 【详解】解：如图，过点D作，垂足分别为F、G，    是角平分线， ，设 ， ， ， ， 解得：， ， 是的中线， ． 故答案为：9． 10． 【分析】过点点B作于点E，交于点M，过点M作于N，则为的最小值，根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：过点B作于点E，交于点M，过点M作于N，    ∵平分，于点E，于N， ∴， ∴，根据垂线段最短知为的最小值， ∵，， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是轴对称—最短路线问题，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型． 11．15 【分析】过D作DE⊥BC于E，根据角平分线性质求出DE=3，根据三角形的面积求出即可． 【详解】解：过D作DE⊥BC于E， ∵∠A=90°， ∴DA⊥AB， ∵BD平分∠ABC， ∴AD=DE=3， ∴△BDC的面积是：×DE×BC=×10×3=15， 故答案为15． 【点睛】本题考查了角平分线的性质．解题的关键是要认真细致不要出错． 12． 【分析】本题考查的是垂线段最短，角平分线的性质，过点G作于点，证明，由垂线段最短的含义可得答案． 【详解】解：如图，过点G作于点， 由作图知是的平分线， ∵，， ∴， ∴最短为， 故答案为3． 13．/ 【分析】本题主要考查点的坐标，熟练掌握二、四象限的角平分线上的点横纵坐标互为相反数是解题的关键． 根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵点在二、四象限的角平分线上， ∴点P的横纵坐标互为相反数，即， 解得：， 故答案为：； 14．（1）作图见详解 ；（2）∠BDC=． 【分析】（1）按基本作图，作已知角的平分线完成即可． （2）先据三角形三个内角之和是180°算出∠ABC的度数，再据角平分线定义算出∠ABD的度数，最后用三角形外角性质∠BDC的度数． 【详解】解：（1）以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、CB于E、F，再以点E、F为圆心，大于为半径画弧，两弧交于G，过B经过点G作射线交AC于D， 如下图BD为所作． （2）∵∠BAC = 70°，∠C = 60°， ∴∠ABC=180°-∠BAC -∠C =180°－70°－60°=50°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD=25° ∴∠BDC=． 【点睛】本题考查三角形的角平分线，三角形内角和，三角形外角性质．注意三角形的角平分线是条线段，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点是这个顶点所在角的平分线和对边的交点． 15．(1) (2)5 【分析】（1）根据三角形内角和求出，根据角平分线的定义求出，再利用外角的性质求解； （2）根据垂线段最短得到当时，最小，再利用角平分线的性质求出． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； （2）∵点F是上的动点， ∴当时，最小， ∵平分，，， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和，角平分线的定义，角平分线的性质，垂线段最短，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握基本定理和知识． 16．80° 【分析】由题意角平分线上的点到角两边的距离相等可得BE平分，AD平分，进而依据三角形内外角和定理进行分析计算即可. 【详解】解：∵点D到三边的距离相等， ∴D在角平分线上，即BE平分，AD平分， ∴, ∵， ∴, ∴, ∴. 【点睛】本题考查角平分线的性质以及三角形内外角和定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键. 17．(1)见解析 (2)见解析 (3)7.5 【分析】（1）根据是的角平分线和得，再结合为边上的高得出即可证明； （2）过点F作于点M，于点N，证明，得出，再根据，解出即可证明； （3）根据及为边上的高证明，得出，再根据，解得，结合即可求出； 【详解】（1）证明： 是的角平分线， . ， . . 为边上的高， . .    平分. （2）过点F作于点M，于点N， 平分，且，， . ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ，    （3）， ，， ， 为边上的高， ， ， . 在和中， . ， ， ， ， . 【点睛】本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质，熟练掌握全等三角形的几种判定方法以及角平分线的判定是解答该题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$