专题9.2 点、直线、平面的位置关系 专题讲义-2024届高三数学一轮复习

专题9.2 点、直线、平面的位置关系 1．与平面有关的三个基本事实 基本事实1 基本事实2 基本事实3 文字 语言 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 图形 语言 符号 语言 A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 作用 ①确定平面； ②证明点、线共面； ③证明两个平面重合 判断直线是否在平面内 ①判断两个平面是否相交； ②证明点共线和线共点问题 2．基本事实1的三个推论 自然语言 图形语言 作用 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 确定平面的依据 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 3．空间中直线与直线的位置关系 (1) 位置关系分类 位置关系 异面直线 共面直线 平行直线 相交直线 文字语言 不同在任何一个平面内，没有公共点 在同一平面内，没有公共点 在同一平面内，有且仅有一个公共点 公共点 无公共点 一个公共点 无公共点 符号语言 a，b是 异面直线 a∥b a∩b＝A 图形表示 (2) 异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． ②范围：. (3) 基本事实4 自然语言 图形语言 符号语言 作用 平行于同一条直线的两条直线平行 a∥b且b∥c⇒a∥c 判断两条直线是否平行 (4) 等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 4．空间中直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 有无数公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 5．空间中平面与平面的位置关系 位置关系 两个平面平行 两个平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点 (在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 【重要结论】 1.唯一性定理 ⑴过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. ⑵过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直. ⑶过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. ⑷过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直. 2.异面直线的2个结论 ⑴平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线． ⑵分别在两个平行平面内的直线平行或异面． 1.【人教A版必修二 习题8.4 第8题 P132】如图，正方体中，，分别为，的中点． 求证：，，，四点共面； 若，，与平面交于点，求证：，，三点共线． 2.【人教A版必修二 习题8.4 第9题 P132】（多选）如图是一正方体的表面展开图，，，都是所在棱的中点，则在原正方体中下列结论正确的是(    ) A. 与相交 B. C. 与异面 D. 平面 考点一 基本事实的应用 【方法储备】 1.证明不共线的4点共面问题 ⑴任取这4点中2点作一条直线，证明作出的2条直线平行、相交； ⑵假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”； ⑶由其中三点确定一个平面，再证明第四点在这个平面内； 2.证明共线问题 (1)利用基本事实3：先找出两个平面，证明这些点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3，则这些点都在两个平面的交线上； (2)同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上. 3.证明线共点问题 (1)说明两条直线共面且交于一点； (2)说明这个点在另两个平面内，并且这两个平面相交； (3)根据基本事实3，则两个平面的交线也过此点，从而得到三线共点．　 补充： 反证法：证明立体几何问题的一种重要方法． 第一步：提出与结论相反的假设； 第二步：由此假设推出与已知条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果； 第三步：推翻假设，从而原命题成立． 【典例精讲】 例1.(2022·福建省龙岩市期中) 如图，在长方体中，，分别是和的中点． 证明：，，，四点共面； 证明：，，三线共点． 【拓展提升】 练1-1(2023·广东省揭阳市月考) 如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，，，且，，且，，分别为，的中点． 证明：四边形是平行四边形．