江西省赣州市第四中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题

赣州四中 2023-2024学年高二上学期开学考试数学 一、单选题（每题5分，共40分） 1．“”是“，”的（    ） A．充分必要条件 B．充分条件 C．必要条件 D．既不充分又不必要条件 2．将化为弧度制，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，则（      ） A． B．2 C． D．50 4．已知的三个顶点A，B，C的坐标分别是，则顶点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．的值为（    ） A． B． C． D． 6．若，，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，小明想测量自己家所在楼对面的电视塔的高度，他在自己家阳台M处，M到楼地面底部点N的距离为，假设电视塔底部为E点，塔顶为F点，在自己家所在的楼与电视塔之间选一点P，且E，N，P三点共处同一水平线，在P处测得阳台M处、电视塔顶处的仰角分别是和，在阳台M处测得电视塔顶F处的仰角，假设，和点P在同一平面内，则小明测得的电视塔的高为（    ）    A． B． C． D． 8．如图，已知正方形的边长为2，，分别是，的中点，平面，且，则与平面所成角的正弦值为（    ）      A． B． C． D． 二、多选题（每题5分，共20分） 9．已知复数（其中是虚数单位），则下列命题中正确的有（    ） A． B．z的虚部是－4 C．是纯虚数 D．z在复平面内对应的点位于第一象限 10．下列结论正确的是（    ） A．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD1与B1C是异面直线 B．不共面的四点可以确定4个平面 C．圆锥的侧面展开图是个半圆，则圆锥的母线是底面半径的2倍 D．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 11．已知两个单位向量和的夹角为，则（    ） A．向量在向量上的投影向量为 B．向量与向量的夹角为 C．向量在向量上的投影向量为 D．的最小值为 12．如图所示，在凸四边形中，对边，的延长线交于点，对边，的延长线交于点，若，，，则（    ） A． B． C．的最大值为 D． 三、填空题（共20分） 13．已知向量，若与互相垂直，则 ． 14．已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为 ． 15．已知,且，，则的值是 ． 16．如图，在长方体中，，，为的中点，过的平面分别与棱，交于点E，F，且，则截面四边形的面积为 . 四、解答题（共70分） 17．证明：. 18．已知复数，． (1)当m取何值时，z为纯虚数？ (2)当时，求的值． 19．已知函数的部分图象如图所示．    (1)求的解析式并求出的增区间； (2)先把的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，若且关于的方程在上有解，求的取值范围． 20．在中，内角所对的边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若的面积为，外接圆的面积为，求. 21．如图，有一块扇形草地，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点A，B在弧上，且线段平行于线段；    (1)若点A为弧的一个三等分点，求矩形的面积S； (2)设，当A在何处时，矩形的面积S最大？最大值为多少？ 22．已知平面四边形ABCD，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点.        (1)求证：平面； (2)若为的中点，求与平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，求二面角的平面角的余弦值. 标准答案 1．A 因为， 因此，“”是“，”的充分必要条件. 故选：A. 2．C . 故选：C. 3．A 由题意向量，， 则向量， 故， 故选：A 4．A 设顶点D的坐标为， 由题意知，,根据向量的坐标运算解得；， 解得：，即顶点D的坐标为， 故选；A. 5．A ， 故选：A 6．C 解：由，得， 由，得， 所以 故选：C. 7．A 在中，， 在中，，， 则， 由正弦定理， 可得， 在中，(m). 故选：A. 8．D 如图，连接、，且、分别交于、. 因为四边形是正方形，、分别为和的中点， 故为的中点，因为平面，平面， 所以平面，所以到平面的距离就是点到平面的距离. ，即，平面， 平面，，平面， 平面平面平面平面， 作交于点，因为平面，平面平面， 平面，所以线段的长就是点到平面的距离. 正方形的边长为. 平面，平面，所以， 在中，，根据， 有，得， 因为，平面，所以的长即为点到平面的距离， ，即与平面成角的正弦值为. 故选：D.      9．ACD 解：复数，，故A正确； z的虚部是3，故B错误； ，是纯虚数，故C正确； z在复平面上的对应点是，在第一象限，故D正确. 故选：ACD 10．ABC 对于A，正方体中，∵平面，平面，，∴由异面直线判定定理得与是异面直线，故A正确； 对