第4章 4.5 增长速度的比较-【志鸿优化训练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册笔记(人版B版2019)

☑笔记&必记 4.5增长速度的比较 一、知识对标 同类函数增长特点 指数函数、幂函数、对敏函数的增长差异 当a>1时，指数函数y=a是增函数，并且 -般地，在区间(0，十oo)上，尽管指数函数y=a(>1)、幂函数y 当4越大时，其函数值的增长就越快， =x”(n>0)与对数函数y=x(a>1)都是增函数，但它们的增 对比 当a>1时，对数函数y=logx是增函数，并 长速度不同，而且不在同一个挡次上.随者x的增大，y=a(a>1) 内容 且当α越小时，其函数值的增长就越快， 的增长速度越来越快，会远远超过幂函数y=x“(>0)》的增长速 当x>0,n>1时，幂函数y=x”是增函数，并 度，面对数函数y=lagx(a>I)的增长速度越来越慢，因此总会存 且当>1时，n越大其函数值的增长就越快. 在一个x,当x>x。时，就有logx<x*<a(a>1,n>0) 二、规律方法 三种函数模型的选取： (1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型. (2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型. (3)幂函数模型y=x“(n>0),则可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n≤1)时，增长较慢：n值较 大(n>1)时，增长较快. 三、分类典例赏析 类型一根据图像判断函数的增长速度 【例4一5-1】函数f(x)=2和g(x)=x的图像如图所示.设两函数的图像交于点A(x,y1),B (xy:),且x1<r. (1)请指出图中曲线C,C:分别对应的函数： (2)结合函数图像，判断f(6),g(6),f(2019),g(2019)的大小. 【解】(1)C,对应的函数为g(x)=x,C:对应的函数为f(x)=2. (2):f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10). .1<x,<2.9<x2<10,.x1<6<x2,2019>x1. 从图像上可以看出，当x,<x<x:时，f(x)<g(x), f(6)<g(6). 当x>x:时，f(x)>g(x),f(2019)>g(2019). 又g(2019)>g(6)..f(2019)>g(2019)>g(6)>f(6). ⊙反思感悟… 判断函数的增长速度，一个是从工增加相同量时，函数值的增长量的变化：另一方面，也可从函数图像 的变化，图像越陡，增长越快 类型二函数增长模型的应用 【例4一5一2】假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元： 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元： 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？ 【解】设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y=40(x∈N,)进 =0.4×2r-1 行描述：方案二可以用函数y=10x(x∈N+)进行描述：方案三可以用函数y= y=10x 0.4×2(x∈N,)进行描述.要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况 8 y=40 进行分析. 024681012x 16 ·数学 第四章指数函数、对数函数与幂函数加 画出三个函数的图像，如图所示， 由图可知方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函 数的增长情况很不相同. 可以看到，尽管方案一，方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固 定不变，而方案三是“指数增长”，但“增长量”是成倍增加的，从第？天开始，方案三比其他两个方案增长得 快得多，这种增长速度是方案一，方案二所无法企及的.从每天所得回报看，在第1~3天，方案一最多：在第 4天，方案一和方案二一样多，方案三最少：在第5~8天，方案二最多：第9天开始，方案三比其他两个方案 所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元， 下面再看累计的回报数.列表如下： 天数 回报/元 10 11 方案 一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 三 0.41.22.8 6 12.425.250.8102 204.4409.2818.8 因此，投资1~6天，应选择方案一：投资7天，应选择方案一或方案二：投资8一10天，应选择方案二： 投资11天（含11天）以上，应选择方案三. O反思感悟一 直线上升反映了一次函数（一次项系数大于0）的增长趋势，其增长速度不变（恒为常数）：指数爆炸反映 了指数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度剧烈（越来越快）：对数增长反映了对数函数（底数大于1） 的增长趋势，其增长速度平最（越来越慢），解题时，注意根据各函数的增长类型选择合渣的