3.3勾股定理的简单应用（同步课件）-2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

第3章 · 勾股定理 3.3 勾股定理的简单应用 学习目标 1. 能应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题； 2. 感受“转化”“建模”的数学思想，提高分析问题、解决问题的能力. 知识回顾 勾股定理 勾股定理的逆定理 图形 文字语言 符号语言 A b a C B ∟ 在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴ a2 + b2 = c2. A b a C B c 在△ABC中，a2 + b2 = c2， ∴△ABC为直角三角形，∠C=90°. 如果三角形的三边长a、b、c，且a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. 直角三角形两直角边分别为a、b的平方和等于斜边c的平方. 从远处看斜拉桥，可以发现有许多直角三角形. 已知桥面上以上的索塔AB的高，怎样计算拉索AC、AD、AE、AF、AG的长？ 分别测量出BC、BD、BE、BF、BG的长度，根据勾股定理计算出AC、AD、AE、AF、AG的长 讨论与交流 例题讲解 例1 九章算术中的“折竹”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？ A C B x (10－x) 3 ┐ 解：如图，竹子在点AC处折断，竹梢点B着地，△ABC是直角三角形． 设OA＝x尺，则AB＝(10－x)尺． 由勾股定理，得， ∴OA2＋OB2＝AB2， ∴x2＋32＝(10－x)2． ∴OA＝x=4.55(尺) 1.构造直角三角形 3.用勾股定理列出方程 4.解方程 5.检验、写出答案 2.设出未知数 ∴折断处离地面4.55尺. 例题讲解 例2 如图, 在△ABC中, AB＝26, BC＝20, BC边上的中线AD＝24, 求AC. D C B A 26 20 24 解：∵AD是△ABC的中线，且BC=20， ∴BD==10. ∵AD2＋BD2＝576＋100＝676， AB 2＝262＝676， ∴AD2＋BD2＝AB2， ∴ ∠ADB＝90°，AD垂直平分BC． ∴AC＝AB＝26. 还有其他方法求AC吗？ 能求出△ABC的周长和面积吗? ∟ 例题讲解 变式 如图，在△ABC中，AB＝AC=26，BC＝20， 求BC边上的高； C B A 26 20 26 △ABC的面积. D 提示：作AD⊥BC，垂足为D. 新知巩固 1. 计算图中四边形ABCD的面积. 解：在Rt△ADB中，由勾股定理得： BD2=AD2+AB2=122+162=400 ， ∴BD=20， ∵CD2＝152=225， ∴ CD2+BD2＝BC2. ∴ 由勾股定理的逆定理得：∠BDC＝90°. ∴ BD⊥CD S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC =×16×12+×15×20=246. D C B A ∟ 12 16 15 25 BC2＝252=625， 新知巩固 2. 一个三角形三边长的比为3:4:5，它的周长是60cm. 求这个三角形的面积. 解：∵三边长的比为3:4:5，它的周长是60cm． ∴三边长分别为： 60×，60×，60×， ∵152＋202＝252， ∴这个三角形是直角三角形， ∴这个三角形的面积是： . 例3 如图，四边形ABCD是学校的一块空地，经数学兴趣小组的测量可知，∠B=90°，BC=3米，AB=4米，CD=13米，AD=12米．为了提高校园的绿化面积，现学校决定在空地内铺草坪，若铺设每平方米草坪需要30元，则将这块空地全部铺满一层草坪的费用是多少？ A B C D 3 4 12 13 解：如图，连接AC. 在Rt△ABC中，由勾股定理得： AC2＝AB2＋BC2＝32＋42，∴AC＝5. ∵AC2＋AD2=52＋122＝169，CD2＝169， ∴CD2＝AC2＋AD2. ∴由勾股定理的逆定理得：∠CAD＝90°. ∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝AB·BC＋AC·AD ＝×4×3＋×5×12＝36. ∵36×30=1080（元）， ∴这块地全部种草的费用是1080元． 例题讲解 ∟ 例题讲解 例4 如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm，你能求出CE的长吗？ D B A C E x 10-x 6cm 10-x 10cm ∟ 关于折叠问题，要紧扣折叠前后的对应边，对应角相等. 解：如图，连接BE. ∵A与B折叠后重合， ∴直线DE是线段AB的垂直平分线. ∴BE=AE. 设CE=x，则BE=AE=10-x， 在Rt△EBC中，由勾股定理得： BE2＝CE2＋BC2， ∴(10-x)2＝x2＋62，x=3.2. ∴CE=3.2cm. 1. 有一块