重难点专题08 极值点偏移的十大类型-【划重点】备战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

重难点专题08极值点偏移的十大类型 题型1加法型构造一元差函数 1 题型2乘法型构造一元差函数 2 题型3构造辅助函数+构造一元差函数 3 题型4比值代换法 5 题型5对数均值不等式法 6 题型6加法型汇总 7 题型7减法类型 8 题型8乘积型汇总 9 题型9平方类型 10 题型10商类型 11 题型1加法型构造一元差函数 极值点偏移问题中（极值点为），证明或的方法： ①构造， ②确定的单调性， ③结合特殊值得到或，再利用，得到与的大小关系， ④利用的单调性即可得到或. 【例题1】（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知函数为其极小值点． (1)求实数的值； (2)若存在，使得，求证：． 【变式1-1】1. （2022·全国·高三专题练习）已知函数. (1)求的极值. (2)若，，证明：. 【变式1-1】2. （2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知函数. (1)当时，，求的取值范围. (2)若函数有两个极值点，证明：. 【变式1-1】3. （2022·江苏南通·高三期中）已知，其极小值为-4. (1)求的值； (2)若关于的方程在上有两个不相等的实数根，，求证：. 【变式1-1】4. （2023·黑龙江牡丹江·牡丹江一中校考三模）已知函数，a为实数． (1)求函数的单调区间； (2)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明： 题型2乘法型构造一元差函数 处理极值点偏移问题中的类似于（）的问题的基本步骤如下： ①求导确定的单调性，得到的范围； ②构造函数，求导后可得恒正或恒负； ③得到与的大小关系后，将置换为； ④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论. 【例题2】（2022·北京市房山区良乡中学高三期中）已知函数 (1)求函数单调区间； (2)设函数，若是函数的两个零点， ①求的取值范围； ②求证：． 【变式2-1】1. （2023秋·辽宁丹东·高三统考期末）已知函数． (1)证明：若，则； (2)证明：若有两个零点，，则． 【变式2-1】2. （2023·全国·高三专题练习）已知函数． (1)若时，，求的取值范围； (2)当时，方程有两个不相等的实数根，证明：． 【变式2-1】3. （2023·全国·高三专题练习）已知函数. (1)求在上的最小值. (2)设，若有两个零点，证明：. 【变式2-1】4. （2023·全国·高三专题练习）已知函数. (1)证明：. (2)若函数，若存在使，证明：. 题型3构造辅助函数+构造一元差函数 极值点偏移问题的一般题设形式： 1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）； 2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）； 3.若函数存在两个零点且，令，求证：； 4.若函数中存在且满足，令，求证：. 【例题3】（2023秋·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考开学考试）已知函数，．（为自然对数的底数） (1)当时，求函数的极大值； (2)已知，，且满足，求证：． 【变式3-1】1.（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根、， （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）求证：． 【变式3-1】2. （2023·山东日照·统考二模）已知函数． (1)若恒成立，求实数的值： (2)若，，，证明：． 【变式3-1】3. （2022秋·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中）已知函数，其中为自然对数的底数. （1）讨论函数的单调性； （2）若，且，证明：. 【变式3-1】4. （2023·全国·高三专题练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设，为两个不相等的正数，且，证明：. 题型4比值代换法 比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值（一般用表示）表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解． 【例题4】（2023·北京通州·统考三模）已知函数 (1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，求实数a的值； (2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围. (3)已知有两个零点，，求实数a的取值范围并证明. 【变式4-1】1. （2022·全国·高三专题练习）设函数． (1)若，求的单调区间； (2)若存在三个极值点，且，求的取值范围，并证明：． 【变式4-1】2. （2022·全国·高三专题练习）已知函数，且是函数的导函数， (1)求函数的极值； (2)当时，若方程有两个不等实根． （ⅰ）证明：； （ⅱ）证明：． 【变式4-1】3. （2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数在其定义域内有两