专题02 一节课搞定极值点偏移问题（培优特训）-2024年高考数学总复习微重点专项突破（新高考通用）

微专题02 一节课搞定极值点偏移问题 极值点偏移问题简介：   极值点偏移问题是咱们高中非常常见的导数问题，其中解法与题型也非常非常多，比如比值换元，差值换元，对称化构造，同构方程，对数均值不等式，切线夹，割线放缩，零点差一次拟合，飘带函数放缩，泰勒二次拟合，零点差一次拟合等等。     很多同学看了题不知道从哪里入手，所以老师总结了三大类题型，包括了大部分方法，让同学们看起来更加清晰明了，这三类题型也属于我们必须掌握的题型，前两种比较基础一定要掌握，最后一种难度偏高可以选择性记忆。 一.最常见的方法——构造函数 极值点偏移模型： 考点1.利用韦达定理，进行构造函数 1．已知函数. (1)当时，试讨论函数的单调性； (2)设函数有两个极值点，证明：. 2．已知函数. (1)若，求函数图象在点处的切线方程； (2)设存在两个极值点且，若，求证：. 考点2. 利用分析法，进行对称构造 3．已知函数. (1)若存在实数，使成立，求实数的取值范围； (2)若有两个不同零点，求证：. 4．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，，证明：. 5．已知函数 (1)若 在 上恒成立，求a的取值范围； (2)设 为函数g(x)的两个零点，证明： 二.对数均值不等式 飘带函数模型： 考点1.同构方程，利用比值换元构造函数 1．已知函数． (1)若，讨论的单调性． (2)已知关于的方程恰有个不同的正实数根． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 2．已知函数，. (1)若，求函数的极值； (2)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值； (3)当时，函数恰有两个不同的零点，，且，求证：. 考点2.和积转化（差积转化） 3．已知函数， (1)当，和有相同的最小值，求的值； (2)若有两个零点，求证：. 考点3.消参减元 4．已知函数． (1)讨论函数极值点的个数； (2)若函数在定义域内有两个不同的零点，， ①求a的取值范围； ②证明：． 三.零点差——放缩法 筷子夹汤圆模型： 考点1.零点差，切线夹 1．已知函数，其中是自然对数的底数. (1)设曲线与轴正半轴相交于点，曲线在点处的切线为，求证：曲线上的点都不在直线的上方； (2)若关于的方程（为正实数）有两个不等实根，求证：. 2．已知函数在点(，)处的切线方程为． (1)求a、b； (2)设曲线y＝f(x)与x轴负半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y＝h(x)，求证：对于任意的实数x，都有f(x)≥h(x)； (3)若关于的方程有两个实数根、，且，证明：． 考点2.割线放缩 3．已知与有两个不同的交点，其横坐标分别为（）. （1）求实数的取值范围； （2）求证：. 考点3.二次拟合 4．已知，函数有两个不同的零点． （I）证明：； （Ⅱ）证明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题02 一节课搞定极值点偏移问题 极值点偏移问题简介：   极值点偏移问题是咱们高中非常常见的导数问题，其中解法与题型也非常非常多，比如比值换元，差值换元，对称化构造，同构方程，对数均值不等式，切线夹，割线放缩，零点差一次拟合，飘带函数放缩，泰勒二次拟合，零点差一次拟合等等。     很多同学看了题不知道从哪里入手，所以老师总结了三大类题型，包括了大部分方法，让同学们看起来更加清晰明了，这三类题型也属于我们必须掌握的题型，前两种比较基础一定要掌握，最后一种难度偏高可以选择性记忆。 一.最常见的方法——构造函数 极值点偏移模型： 考点1.利用韦达定理，进行构造函数 1．已知函数. (1)当时，试讨论函数的单调性； (2)设函数有两个极值点，证明：. 【答案】(1)在区间，上单调递增，在区间单调递减 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，利用导函数的符号讨论即可； （2）由函数有两个极值点可得在上有两个根，从而求得的取值范围，再结合韦达定理可知，则原不等式转化为证明，利用导数研究单调性进而证明即可. 【详解】（1）当时，定义域为， ， 令解得或，且当或时，，当时，， 所以当或时，单调递增，当时，单调递减， 综上在区间，上单调递增，在区间单调递减. （2）由已知，可得， 函数有两个极值点，即在上有两个不等实根， 令，只需，故， 又，， 所以 ， 要证，即证， 只需证， 令，， 则， 令，则恒成立， 所以在上单调递减， 又，， 由零点存在性定理得，使得， 即， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 则， 又由对勾函数知在上单调递增， 所以 所以，即得证. 2．已知函数. (1)若，求函数图象在点处的切线方程； (2)设存在两个极值点且，若，求证：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）把代入，利用导数的几何意义求解