求通项的方法讲义-2024届高三数学一轮复习

求通项的八法三经验一个注意事项 【八法】 1、 公式法：适用于an+1=an+B（B为常数），an+1=Aan（A为非零常数） 2、 叠加法：适用于an+1=an+f（n） 解：∵an+1-an=f（n） ∴an-an-1=f（n-1） ...... a3-a2=f（2） A2-a1=f（1） 而a1=... 以上各式叠加可得an=...+f（1）+f（2）+...+f（n-1）（n≥2）=... 而当n=1时，...=或≠a1 ∴an=......（或分或合） 练习：已知{an}中，a1=2，an+1=an+2n+3，求{an}通项 3、叠乘法：适用于an+1=f（n）·an 解：∵=f（n） ∴=f（n-1） ...... =f（2） =f（1） 而a1=... 以上各式叠乘可得an=...·f（1）·f（2）·...·f（n-1）（n≥2）=... 而当n=1时，...=或≠a1 ∴an=......（或分或合） 练习：已知{an}中，a1=2，an+1=3n·an，求{an}通项 4、待定系数法（适用于an+1=Aan+B）（A、B为常数且A≠0,1，B≠0） 解：设an+1-x=A（an-x） ....... （构造） ∴x= 令bn=an-x，则bn+1=an+1-x ....... （换元） 故bn+1=Abn ∴{bn}是首项为b1，公比为A的等比数列 ∴bn=b1·An-1 即an-x=...... （还原） ∴an=...... 练习：已知数列{an}中，a1=2，an+1=2an+3，求{an}通项 5、 裂项法（适用于an+2=Aan+1+Ban）（A、B为常数且A，B≠0） 解：设an+2-xan+1=y（an+1+xan） 取x= y= 令bn=an+1+xan，则bn+1=an+2-xan+1 ....... （换元） 故bn+1=ybn ∴{bn}是首项为b1，公比为y的等比数列 ∴bn=b1·yn-1 即an-xan=...... （还原） 到了这里，原来三项之间的关系变为了两项之间的关系式，往下怎么走，由型定法。 练习：已知数列{an}中，a1=2，a2=2，an+2=an+1+an，求{an}通项 6、 倒数法（适用于an+1=）或Aan+1·an+Ban+1+Can=0 解：∵= ......（倒过来） ∴=+ ......（构造） ∴令bn=，则bn+1= ......（换元） 故bn+1=bn+ ......（由型定法） ∴bn=... 即=... ......（还原） ∴an=... 练习：1、已知数列{an}中，a1=1，an+1=，求{an}通项 2、已知数列{an}中，a1=1，3an+1·an+an+1-an=0，求{an}通项 7、 观察归纳法 8、 前n项和法：适用于由Sn通项，求an通项 例：已知{an}的前n项和是Sn，若Sn=n2+2n，求{an}通项 解：∵Sn=n2+2n ∴当n>1时，an=Sn-Sn-1=n2+2n-（n-1）2-2（n-1）=2n+1，（n≥2） 而a1=s1=3 当n=1时，2n+1=3=a1 ∴an=2n+1，（n≥1） 练习：已知{an}的前n项和是Sn，若Sn=n2+2n+1，求{an}通项 【三经验】 1、 异名同名化：有s有a的，s化a或a化s 例1：设数列{an}的前n项和是Sn=an-×2n+1+，求首项a1和通项an 例2：a1=3，2an=Sn·Sn-1（n≥2），求an 2、 高次低次化：①开方②因式分解③对数落幂 例1：正项数列{an}中，an=2-1，求an 例2：a1=1，an+1=an++，求an 例3：正项数列{an}中，10Sn=an2+5an+6，且a1，a3，a5成等比，求an 例4：an+1=an2且a1=3，求an 3、 多元单元化①加减消元②代入消元 例：已知数列{an}中，a1=1，数列{bn}中，b1=0，当n≥2时，an=（2an-1+bn-1） bn=（an-1+2bn-1），求an与bn 【一个注意事项】 注意下标n，能顺推应顺推，要注意关系从第n项有效 例：数列{an}的前n项和是Sn，a1=1，an+1=2Sn（n∈N+） 1、 求{an}通项 2、 求{an}的前n项和是Sn 1 $$