基本不等式应用---利用基本不等式求最值的技巧

基本不等式应用 一．基本不等式 1.（1）若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”） 2. (1)若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”） (3)若，则 (当且仅当时取“=”） 3.若，则 (当且仅当时取“=”）;若，则 (当且仅当时取“=”） 若，则 (当且仅当时取“=”） 3.若，则 (当且仅当时取“=”） 若，则 (当且仅当时取“=”） 4.若，则（当且仅当时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y＝3x 2＋ （2）y＝x＋ 解：（1）y＝3x 2＋≥2＝ ∴值域为[，+∞） （2）当x＞0时，y＝x＋≥2＝2； 当x＜0时， y＝x＋= －（－ x－）≤－2=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知，求函数的最大值。 解：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项， ， 当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求的最大值。 解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。 当，即x＝2时取等号 当x＝2时，的最大值为8。 评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。 变式：设，求函数的最大值。 解：∵∴∴ 当且仅当即时等号成立。 技巧三： 分离 例3. 求的值域。 解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。 当,即时,（当且仅当x＝1时取“＝”号）。