数列求和的基本方法讲义-2024届高三数学一轮复习

数列求和的基本方法 总则：求和看通项、求和有六法、凡等比求和必看公比。 1、 公式法：适用于an=一次项（等差），或an=常系数·幂式（等比）。 例1：已知an=2n+3，求其前n项的和sn 例2：已知an=，求其前n项的和sn 2、 错位相减法：适用于an=一次式·幂式或an= 例1：已知an=（2n+3）·3n，求其前n项和sn 解：∵an=（2n+3）·3n Sn=a1+a2+a3+···+an ----------展开 即Sn=3×31+5×32+7×33+···+（2n+3）·3n ①----------具体化 ∴3Sn=3×32+5×33+7×34+···+（2n+3）·3n+1 ②----------两边同时乘以公比做好对应性 由①-②有-2Sn=9-（2n+3）·3n+1 +2×32+2×33+···+2·3n 错位相减 =9-（2n+3）·3n+1 + =9-（2n+3）·3n+1 -9+3n+1 =-2n·3n+1 ----------化简 ∴Sn=n·3n+1 ----------求和 练习： 1、已知an=，求其前n项和sn 2、已知an=2n+1，bn=2·，设cn=an·bn，求{cn}前n项和Tn 3、已知x+2x2+3x3+···+nxn，则化简结果？ 3、 裂项相消法：适用于an=分式、根式（分母可因式分解） 核心： 1、 如何分裂 ：①对分母进行因式分解②由因式较小的倒数-因式较大的倒数③ 保证分裂前后的一致性 2、 怎样相消？①前后项相消②间项相消 例1：已知an=，求sn ∵an= ∴an= ∵Sn=a1+a2+a3+···+an 即：Sn=4（1-）+4（）+4（）+···+ =4（1-+++···+） =4（1-） 练习 1、已知an=，求sn 2、已知an=，求其前n项和sn 3、已知an=，求其前n项和sn 4、已知an=，求其前n项和sn 4、 分组求和法（适用于an=多项式） 例：求数列1+，2+，3+，···，n+的前n项和。 解：设an=n+ ∴sn=a1+a2+a3+···+an =1++2++3++···+n+ =（1+2+3+··+n）+（+++···+） =+ =1+- 练习：已知an=2n++3n·2n，求sn 5、 分段求和（适用于an=分段或含绝对值或含（-1）n） 分段有两种：1、k前k后分段 2、奇位偶位分段 3n ，n<7， 求{an}的前n项和sn 例1：已知 an= 2n-1 ，n≥7 解：1、当n<7时，sn=a1+a2+a3+···+an=31+32+33+···+3n =（n<7） 2、当n≥7时， sn=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+···+an 设bn=2n-1，n∈N+，其前n项和为Tn 则Tn=b1+b2+···+bn=1+3+···+（2n-1）=n2 ∴sn=s6+Tn-T6=+n2-36=n2-1056 ，n<7综上可知sn= n2-1056 ，n≥7 练习： 3n ，n为偶 ，求{an}的前n项和sn 1、已知an= 2n-1 ，n为奇 6、 倒序相加法。 练习：f（x）=图像上有两点p1（x1，y1），p2（x2，y2）。若=（+），点p的横坐标为。 1、 求证：点p的纵坐标为定值，并求此值。 2、 若sn=f（）+f（）+f（）+···+f（），，n∈N+，求sn 1 $$