专题02 函数3 函数的零点（3大重难点详细讲解）-备战2024高考数学重难点及压轴题突破

第03讲 函数的零点 难点1：零点的定义——求函数零点或方程根的个数 考试时我们经常会遇到求函数的零点个数问题，这种题常作为选择的压轴题出现，因其具有很强的综合性，常常与函数奇偶性，单调性，周期性等性质结合起来，并与各种函数以及导数和在一起考查，学生往往很难搞明白零点的位置，造成丢分。 求函数零点或方程的根的个数问题的步骤： （1）将问题转化为求两个函数交点的问题； （2）分析两个函数的性质，并做出函数图象； （3）找到两个函数的交点，即为所求。 【例题】（宁夏吴忠市吴忠中学2024届高三上学期开学第一次月考数学（理）试题）已知是定义在R上的奇函数，满足，当时，，则在区间上所有零点个数为____________. 【答案】 【解析】由题意， 我们根据题目条件知道，函数是奇函数得出，而且满足，便可以得出函数的对称轴，我们用替换原来的，与与结合，即可得出，进而得到函数的周期。 ∵是定义在上的奇函数, ∴, ∵,是其中一条对称轴， ∴, ∴的周期是2 , 在中， 化简函数，将函数的零点问题转化成求函数与函数的交点的问题， 当时，， ∴求函数零点, 即为求与的交点的横坐标, 作出函数图象，根据图象得出，在一个周期上，两个函数有2个交点，进而可以求出在区间上所有交点个数，即可知道在区间上函数所有零点个数. 作出与图象如图所示， 由图知: ∴交点关于对称,每个周期有个交点 ∴有1011个周期, 有1011个周期， ∴在区间上所有零点个数为：， 故答案为：. 【变式训练】（2023 ·福建泉州·统考模拟预测）（多选）设函数，则下列判断正确的是 A. 存在两个极值点 B. 当时，存在两个零点 C. 当时，存在一个零点 D. 若有两个零点，则 难点2：零点存在性定理 零点存在定理：设函数在闭区间上连续，且，则在开区间上存在零点。 【例题】（2022·福建二明统考模拟预测）（多选）已知函数在区间内没有零点，则实数的取值可以为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 A. -1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】 【解析】由题意， 在中， 我们发现这个函数是一个超越函数，并不容易研究其函数性质，我们发现三项中均有，并且求导后函数变为了，含有，不容易求出导数为0的值，因此我们考虑提取个作为公共项，构造新函数，研究它的函数性质。 ， 设， 在中， 我们知道函数在上有没有零点，而在上单调递增，若没有零点，则构造的函数也需要在上有没有零点。 在上，与有相同的零点. ∵函数在区间内没有零点， ∴在区间内没有零点， 我们对函数求导，来讨论参数取不同值时函数的单调性。 当时， 在区间上恒成立, 则在区间上单调递增. ∴，显然在区间内没有零点. 当时, 令，得， 令，得， ∴在区间上单调递减增，在区间 上单调递增. ∴ 由于是含参的，我们无法直观看出它与0的大小关系，也就无法判断函数在时的单调性，因此我们构造新函数来求的取值范围。 设， 在中， 我们可以得出函数是单调减函数，我们要求的是与0的大小关系，因此要求函数的零点，我们要用到零点定理求解。 ∴在上单调递减, 且 ∴存在，使得， 由函数的单调性，我们需要保证，便可得到的取值范围。 要使得在区间内没有零点， 则 ∴ 综上所述，满足条件的的范围是 由选项可知： 选项ABC可使得在区间 内没有零点，即满足题意. 故选：ABC. 【方法总结】遇到考查零点存在性定理的题，我们有如下解决方法： （1）对原函数求导，得出导函数进而讨论原函数单调性； （2）对含参导函数构造新的函数，利用零点存在性定理讨论新函数的单调性和与0的大小关系； （3）求出原函数或参数的取值范围。 【变式训练】（2023·辽宁大连·连八中校考三模）设函数在区间上存在零点，则 的最小值为 A. B. e C. D. 难点3：零点分布 函数的零点分布问题是高考数学的一个难点，考生在解题时，对于含参数的函数往往忽略了对参数的分类讨论，在解决此类问题时，有以下的方法。 函数零点分布问题的处理思路： （1）若函数有未知的参数，需要对函数的参数进行分类讨论，探究不同情况下函数的性质； （2）做出函数图象，利用分参法或直接法求函数的零点； （3）得出参数不同取值范围下的所求结论。 【例题】（2023.全国·校联考模拟预测）若函数恰有2个零点，则实数的取值范围为 A. C. B. D. 【答案】A 【解析】由题意， 在中， 我们发现这是一个分段函数，而且这个分段函数随着参数的变化而变化，因此我们需要对参数进行分类讨论。 (1)当时， 则只有一个零点0， 不符合题意； (2)当时， 我们作出函数函数图象，由函数图象能发现在和上各有一个零点，是符合题目要求的。 作出函数的大致图象， 如图1，函数在 和 上各有一个零点，符合题意