专题47 向量法求距离、探索性及折叠问题-2024年新高考数学一轮复习讲义之题型归类与强化测试（新高考专用）

专题47向量法求距离、探索性及折叠问题 知识梳理 考纲要求 考点预测 方法技巧 题型归类 题型一：利用向量法求距离 题型二：立体几何中的探索性问题 题型三：折叠问题 培优训练 训练一： 训练二： 训练三： 强化测试 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 一、【知识梳理】 【考纲要求】 1.会求空间中点到直线以及点到平面的距离. 2.以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件． 【考点预测】 1．点到直线的距离 如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝. 2．点到平面的距离 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度，因此PQ＝＝＝. 【方法技巧】 1.向量法求点到直线距离的步骤 ①根据图形求出直线的单位方向向量v. ②在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. ③垂线段长度d＝. 2.求点到平面的距离的常用方法 ①直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离. ②转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求. ③等体积法. ④向量法：设平面α的一个法向量为n，A是α内任意点，则点P到α的距离为d＝. 3.折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的关系，尤其是隐含的垂直关系.一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一平面上的性质发生变化. 4.由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心展开，这是解决空间垂直问题的技巧. 二、【题型归类】 【题型一】利用向量法求距离 【典例1】已知棱长为1的正方体ABCD－EFGH，若点P在正方体内部且满足＝＋＋，则点P到AB的距离为________. 【典例2】如图，四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB＝CD＝1，E为PC的中点. (1)证明：BE∥平面PAD. (2)若AB⊥平面PBC，△PBC是边长为2的正三角形，求点E到平面PAD的距离. 【典例3】如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点. (1)求点N到直线AB的距离； (2)求点C1到平面ABN的距离. 【题型二】立体几何中的探索性问题 【典例1】已知正方体ABCD－A1B1C1D1，点E为A1D1中点，直线B1C1交平面CDE于点F. (1)求证：点F为B1C1的中点； (2)若点M为棱A1B1上一点，且二面角M－CF－E的余弦值为，求的值． 【典例2】如图，三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，B1C＝，AB⊥B1C. (1)求证：平面ABB1A1⊥平面ABC； (2)在棱BB1上是否存在点P，使直线CP与平面ACC1A1所成角的正弦值为，若不存在，请说明理由；若存在，求BP的长． 【典例3】如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点． (1)求证：AC⊥SD； (2)若SD⊥平面PAC，求平面PAC与平面DAC夹角的大小； (3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由． 【题型三】折叠问题 【典例1】如图1.梯形ABCD中，AB∥CD，过A，B分别作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F.AB＝AE＝2，CD＝5，DE＝1，将梯形ABCD沿AE，BF折起，得空间几何体ADE­BCF，如图2. (1)图2中，若AF⊥BD，证明：DE⊥平面ABFE； (2)在(1)的条件下，若DE∥CF，求二面角D­AF­C的余弦值． 【典例2】在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，AB＝2BC＝2CD，如图1，以DE为折痕将△ADE折起，使点A达到点P的位置，如图2. (1)证明：平面BCP⊥平面CEP； (2)若平面DEP⊥平面BCED，求直线DP与平面BCP所成角的正弦值． 【典例3】图①是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图②. (1)证明：图②中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； (2)求图②中的平面BCG与