2.2.2 直线的方程（同步课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第一册）

2.2.2 直线的方程 学习任务 1.理解直线与方程的关系.(数学抽象) 2.理解点斜式方程和斜截式方程的推导,并能明确其适用条件.(逻辑推理) 3.知道直线的点斜式和斜截式方程的内在联系和参数含义.(逻辑推理、直观想象) 4.能利用直线的点斜式方程和斜截式方程解决一些相关实际问题.(数学运算) 5.会利用方向向量推导出直线的两点式方程. 6.理解直线的两点式、截距式和一般式方程的内在联系. 7.结合图示明确直线的两点式、截距式和一般式方程的适用范围 8.根据提供的条件,能恰当地选取合适的方程形式解决实际问题,并能进行方程形式上的转化. 主体学习 一、直线的点斜式方程与斜截式方程 设是平面直角坐标系中的直线，分别判断满足下列条件的是否唯一，如果唯一，作出相应的直线，并思考直线上任意一点的坐标（x, y）应满足什么条件? （1）已知 （2）已知 （3）已知 （4）已知 若为直线上不同于的点，则，化简可得 容易验证，直线上的点都使得上式成立. 一般地,如果直线l上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解,而且以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在直线l上,则称F(x,y)=0为直线l的方程,而直线l称为方程F(x,y)=0的直线.此时,为了简单起见,“直线l”也可说成“直线F(x,y)=0”,并且记作l:F(x,y)=0. 在平面直角坐标系中，如果已知是直线上一点，而且知道的斜率信息，就可以写出直线的方程： （1）如果直线的斜率不存在，则直线的方程为 （2）如果直线的斜率存在且为，设为直线上不同于的点，则，即，化简可得 直线的点斜式方程 直线的点斜式方程还可以用方向向量来得到：如果已知是直线上一点，而且的斜率为，则直线的一个方向向量为；另一方面，设为平面直角坐标系中任意一点，则在直线上的充要条件是与共线，又因为，所以 例1 已知直线 l 经过点，且 l 的斜率为 k ，分别根据谢列条件求直线 l 的方程： （1） (2) 解：(1)根据已知可得直线 的点斜式方程为 化简得 (2)根据已知可得直线 的点斜式方程为 化简的 一般地，当直线 既不是轴也不是轴时：若 与轴的交点为，则称在轴上的截距为；若 与轴的交点为，则称在轴上的截距为.一条直线在轴上的截距简称为截距. 已知直线的斜率为，截距为，则意味着这条直线过了这个点，从而可知直线的方程为，化简可得 直线的斜截式方程 例2 已知直线 l 经过点，且 l 的倾斜角为45°，求直线 l 的方程，并求直线 的截距. 解：因为直线 的斜率，所以可知直线 的方程为 即. 因此直线 的截距为5. 二、直线的两点式方程 在初中我们已经知道两点确定一条直线，根据条件求出下列直线的方程： （1）经过与两点的直线； （2）经过P1 (x1,y1)与 P2(x2,y2)点的直线. 直线的两点式方程 例3 已知直线 l 经过点，,求直线 l 的方程，并求直线 的截距. 解：因为两点的横坐标不相等，而且纵坐标也不相等，所以直线的两点式方程为 整理得. 因此直线的截距为. 例4 已知直线 l 在轴、轴上的截距分别为，且，求直线 l 的方程. 解：根据已知可得直线通过点，而且，因此直线的两点式方程为 这一方程可以整理为 直线的截距式方程 三、直线的一般式方程 所有的直线方程都可以写成Ax+By+C=0的形式,其中A,B,C都是实常数,而且A与B不同时为零(即A2+B2≠0).Ax+By+C=0一般称为直线的一般式方程. 例5 已知直线 l 的一般式方程为，求直线的斜率以及在轴和轴上的截距. 解：直线的一般式方程可以化为 所以直线的斜率为，在轴上的截距为2. 在方程中令可得，因此在轴上的截距为-3. 例6 已知直线 l 经过点，而且是直线的一个法向量，求直线 的一般式方程. 解：（方法一）设为平面直角坐标系中任意一点，则在直线上的充要条件是与垂直. 又因为，所以 整理可得一般式方程为. （方法二）因为是直线的一个法向量，所以可以设的方程为 代入点，可求得，因此所求方程为 课堂小结 谢谢观看 $$