第十二章 全等三角形 专题训练(六) 构造三角形证全等常用技巧（作业课件）-【四清导航】2022-2023学年八年级数学上册（人教版）河南

四清导航 数学八年级上册人教版 第十二章全等三角形 专题训练（六） 构造三角形证全等常用技巧 类型之一利用“角平分线”模型构造全等三角形 1.如图，已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P 在射线OM上滑动，两直角边分别与OA,OB交于点C,D.求证：PC=PD. 证明：过点P分别作PE⊥OB于点E,PF⊥OA于点F.∴.∠CFP=∠DEP=90 ..OM是∠AOB的平分线，.PE=PF..'∠1+∠FPD=90°.又∠AOB=90°， ∠OFP=∠OEP=90°，∴.∠FPE=90°，∴.∠2+∠FPD=90°，.∠1=∠2， ∴.△CFP≌△DEP(ASA),∴.PC=PD B 2.如图，已知AC∥BD,AE,BE分别平分∠CAB和∠DBA,点E在线段CD上. (1)求∠AEB的度数： (2)求证：CE=DE. 解：(1)AC∥BD,∴.∠CAB+∠ABD=180°.'AE平分∠CAB,∴.∠EAB= 殳∠CAB.同理可得EBA-∠ABD,LEAB+LEBA-LCAB+2∠ABD =90°，.∴.∠AEB=90° (2)证明：在AB上截取AF=AC,连接EF.易证△ACE≌△AFE(SAS),∴.CE= FE,∠CEA=∠FEA.,∠CEA+∠DEB=90°，∠FEA+∠FEB=90°，∴.∠DEB =∠FEB,..△DEB≌△FEB(ASA),∴.DE=EF,∴CE=DE 类型之二利用“截长补短法”构造全等三角形 3.如图，在△ABC中，AB>AC,AD为角平分线，P为AD上任意一点，连接PB, PC,求证：AB-AC>PB-PC 证明：在AB上截取AE,使AE=AC,连接PE,则BE=AB一AE=AB一AC.,'AD 为∠BAC的平分线，，.∠BAD=∠CAD.在△APC和△APE中，AC=AE,∠BAD= ∠CAD,AP=AP,.△ACP≌△AEP(SAS),.CP=EP.又.在△BPE中， BE>PB-EP,.'.AB-AC>PB-PC B 4.正四边形也就是正方形，它的四条边相等，四个内角都是90°.如图，点E,F分 别在正方形ABCD的边AB,BC上，∠EDF=45°，连接EF.求证：EF=AE十FC 证明：，四边形ABCD是正方形，∴.AB=BC=CD=AD,∠B=∠C=∠ADC=∠ DAB=90°，如图，延长BA,使AM=CF,连接MD.易证△AMD≌△CFD(SAS)..∠ MDA=∠FDC,MD=DF..'∠EDF=45°，..∠ADE十∠FDC=45°，.∠MDE= ∠ADM十∠ADE=45°，∴.∠MDE=∠EDF.易证△EDM≌△EDF(SAS),∴.EF= EM.又EM=AM十AE=AE+CF,.EF=AE+FC M E B 类型之三利用“倍延法”构造全等三角形 5.(济源期末改编)如图，在△ABC中，D为BC的中点. ()求证：AB+AC2AD: (2)若AB=5,AC=3,求AD的取值范围. 解：(1)证明：延长AD至点E,使DE=AD,则AE=2AD,连接BE..D为BC中点， ∴.CD=BD.又.'AD=ED,∠ADC=∠EDB,∴.△ADC≌△EDB(SAS),.BE=AC. ,AB十BE>AE,,∴.AB十AC>2AD (2).AB-BE<AE<AB十BE,.∴.AB-AC<2 AD<AB十AC.又AB=5,AC=3,∴ 2<2ADK8,∴.1<ADK4 (二)倍延过中点的线段 6.如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于 点F,连接EF.求证：BE十CF>EF 证明：如答图，延长ED到点G,使DG=ED,连接CG,FG.,CD=BD,∠CDG= ∠BDE,DG=DE,.△DCG≌△DBE(SAS), ,∴.CG=BE. 再证△DEF≌△DGF(SAS), .FG=FE. 在△CFG中，CG十CF>FG, ∴.BE十CF>EF 类型之四 根据“一线三等角”模型构造全等三角形 7.己知在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,将△ABC放在平面直角坐标系中， 如图所示 (1)如图①，若A(1,0),B(0,3),求点C的坐标； (2)如图②，若A(0,3),C(1,0),求点B的坐标； (3)如图③，若B(一4,0)，C0,一1)，求点4的坐标. 图① 图② 图③ 解：(1)过点C作CD⊥x轴，垂足为D.则∠CAD+∠ACD=90°，'∠BAC= 90°，∴.∠BAO+∠CAD=90°.∴.∠BA0=∠ACD.在△ABO和△CAD中， ∠AOB=∠CDA, ∠BA0=∠ACD,∴.△ABO≌△CAD(AAS),∴.B0=AD,OA=CD..A(1,0), AB=CA, B0,3),∴.OA=1,OB=3,.∴.AD