第五章 第一节 平面向量的概念及其线性运算（Word教参）-【创新方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第五章 | 平面向量及其应用、复数 第一节　平面向量的概念及其线性运算 课程标准 1.了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义． 2．理解平面向量的几何表示和基本要素． 3．掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义． 4．掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义． 5．了解平面向量的线性运算性质及其几何意义． [由教材回扣基础] 1．向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量，可在平面内自由平移 零向量 长度为的向量 记作0，其方向是任意的 单位向量 长度等于个单位的向量 非零向量a的单位向量为± 平行向量 方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量) 0与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不相等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 (1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa. (1)设P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)． (2)若G是△ABC的重心，D是BC边的中点，则 ①＋＋＝0； ②＝(＋)； ③＝(＋)＝(＋)． (3)在四边形ABCD中，若E为AD的中点，F为BC的中点，则＋＝2. (4)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1. (5)解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性． [练小题巩固基础] 一、准确理解概念(判断正误) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(　 ) (2)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　 ) (3)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 二、练牢教材小题 1．(人教B版必修④P94习题2－1T3改编)化简：＋＋－－＝________. 答案： 2．(人教A版必修④P92T2改编)已知|a|＝1，|b|＝2，则|3a＋2b|的最大值和最小值分别为________． 答案：7,1 3．(新人教A版必修②P14例6改编)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，则＝________，＝________.(用a，b表示) 答案：b－a　－a－b 4．(人教A版必修④P90T2)点C在线段AB上，且＝，则＝________，＝________. 答案：　－ 三、练清易错易混 1．(忽视零向量)下列命题中，正确的是(　 ) A．a与b共线，b与c共线，则a与c共线 B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反 C．两个共同起点且相等的向量，其终点必相同 D．零向量与任意数的乘积都为零 答案：C 命题视角一　平面向量的基本概念(自主练通) 1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　 ) A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同 C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|a 解析：选B　对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小． 2．下列命题不正确的是(　 ) A．若a与b为非零向量，且a∥b，则a＋b必与a或b平行 B．若e为单位向量，且a∥e，则a＝|a|e C．两个非零向量a，b，若|a－b|＝|a|＋|b|，则a与b共线且反向 D．“两个向量平行”是“这两个向量相等”的必要不充分条件 答案：B 3.如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是(　 ) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 解析：选D　根据相等向量的定义，A中