第五章 第二节 平面向量基本定理及坐标表示（Word教参）-【创新方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第二节　平面向量基本定理及坐标表示 课程标准 1.了解平面向量基本定理及其意义． 2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． 4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件． [由教材回扣基础] 1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b ⇔x1y2－x2y1＝0. (1)若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. (2)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为. (3)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，其重心G的坐标为. (4)a∥b的充要条件不能表示为＝，因为x2，y2有可能为0. (5)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的． [练小题巩固基础] 一、准确理解概念(判断正误) (1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．(　 ) (2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　 ) (3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(　 ) (4)平面向量不论经过怎样的平移变换，其坐标不变．(　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 二、练牢教材小题 1．(新苏教版必修②P27例1改编)已知平行四边形ABCD，点E，F分别是AB，BC的中点，设＝a，＝b，则＝(　 ) A.(a＋b) B.(a－b) C.(b－a) D.a＋b 答案：A 2．(新人教A版必修②P29例4改编)已知a＝(3,6)，b＝(x，y)，若a＋3b＝0，则b＝(　 ) A．(1,2) B.(－1，－2) C．(－1,2) D.(1，－2) 答案：B 3．(新人教B版必修②P172T4改编)已知向量＝(1，－2)，＝(2，－3)，＝(3，t)，若A，B，C三点共线，则实数t＝________. 答案：－4 三、练清易错易混 答案： 3．(忽视基向量不共线)给出下列三个向量：a＝(－2,3)，b＝，c＝(－1,1)，在这三个向量中任意取两个作为一组，能构成基底的组数为________． 解析：易知a∥b，a与c不共线，b与c不共线，所以能构成基底的组数为2. 答案：2 命题视角一　平面向量的坐标运算(自主练通) 1．已知在平行四边形ABCD 中，＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　因为在平行四边形ABCD 中，＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，所以＝－＝－(＋)＝.故选C. 2.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝(　 ) A．1 B.2 C．3 D.4 解析：选D　以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，∴a＝＝(－1,1)，b＝＝(6,2)，c＝＝(－1，－3)．∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，则解得λ＝－2，μ＝－，∴＝＝4. 3．(2019·全国Ⅱ卷)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝(　 ) A. B.2 C．5 D.50 解析：选A　∵a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)， ∴|a－b|＝＝. 4．已知A(7,1)，B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且＝2，则实数a＝________. 解析：设C(x，y)，则＝(x－7，y－1)，＝(1－x，4－y) .∵＝2，∴解得∴C(3,3)．又∵C在直线y＝ax上，∴3＝a×3，∴a＝2. 答案：2 [一“点”就过]　求解向量坐标运算问题的一般思路 巧借方程思想求坐标 向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过