第五章 第四节 复数（Word教参）-【创新方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第四节　复　数 [由教材回扣基础] 1．复数的定义及分类 (1)复数的定义： 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b. (2)复数的分类： 2．复数的有关概念 复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R) 共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R) 复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R) 3.复数的几何意义 复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 实轴、虚轴 在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数 复数的几何表示 4.复数的运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则： (1)z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； (3)z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (4)＝＝＝＋i(c＋di≠0)． 5．复数运算的几个重要结论 (1)|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)． (2)·z＝|z|2＝||2. (3)若z为虚数，则|z|2≠z2. (4)(1±i)2＝±2i. (5)＝i；＝－i. (6)i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i(n∈N)． [练小题巩固基础] 一、准确理解概念(判断正误) (1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(　 ) (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　 ) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　 ) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 二、练牢教材小题 1．(人教A版选修2－2 P103例1改编)若a∈R，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，则(　 ) A．a≠2且a≠－1 B.a＝0 C．a＝2 D.a＝0或a＝2 解析：选B　复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，则解得a＝0. 2．(新人教A版必修②P73T6改编)若复数z＝(i为复数单位)在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是(　 ) A．(－1,1) B.(－1,0) C．(1，＋∞) D.(－∞，－1) 解析：选D　z＝＝＝＋i，由复数在复平面内对应的点在第三象限，得解得即m<－1，故选D. 3．(人教A版选修2－2 P111例4改编)复数z＝＝_____. 答案：2＋i 三、练清易错易混 1．(概念理解错误)若i为虚数单位，则复数的虚部是(　 ) A．－1 B.1 C．i D.－i 解析：选B　由题意得，＝＝＝i，所以复数的虚部是1.故选B. 2．(混淆绝对值与复数模)若z＝3＋4i，则|z|＝(　 ) A. B.5 C．7 D.25 解析：选B　因为z＝3＋4i，所以|z|＝＝5. 命题视角一　复数的概念(自主练通) 1．已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i为虚数单位)是实数，则a＝(　 ) A．1 B.－1 C．2 D.－2 解析：选C　因为a－1＋(a－2)i是实数，所以a－2＝0，所以a＝2，故选C. 2．若z＝1＋2i＋i3，则|z|＝(　 ) A．0 B.1 C. D.2 解析：选C　因为z＝1＋2i＋i3＝1＋2i－i＝1＋i， 所以|z|＝＝，故选C. 3．(2022·全国乙卷)已知z＝1－2i，且z＋a＋b＝0，其中a，b为实数，则(　 ) A．a＝1，b＝－2 B.a＝－1，b＝2 C．a＝1，b＝2 D.a＝－1，b＝－2 解析：选A　由题意知＝1＋2i，所以z＋a＋b＝1－2i＋a(1＋2i)＋b＝a＋b＋1＋(2a－2)i，又z＋a＋b＝0，所以a＋b＋1＋(2a－2)i＝0，所以解得故选A. 4．已知复数z＝＋的实部与虚部的和为2，则实数a的值为________． 解析：易知z＝＋＝＋＝＋，由题意得＋＝2，解得a＝3. 答案：3 [一“点”就过] 解决复数概念问题的方法 (1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b. (2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．　　 命题视角二　复数代数形式的运算(自主练通) 1．(20