第六章 第二节 等差数列及其前n项和（Word教参）-【创新方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第二节　等差数列及其前n项和 1.理解等差数列的概念和通项公式的意义． 2．理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系． 3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能解决相应的问题．体会等差数列与一元一次函数的关系． [由教材回扣基础] 1．等差数列的有关概念 定义 及表示 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数) 等差 中项 数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项 2.等差数列的通项公式与前n项和公式 通项公式 若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*) 前n项和公式 Sn＝na1＋＝＝n2＋n 3.等差数列的性质 (1)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (2)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (3)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，公差为m2d. (5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列． (1)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. (2)在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值． (3)等差数列{an}的单调性：当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列． (4)数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，A≠0)． [练小题巩固基础] 一、准确理解概念(判断正误) (1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　 ) (2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　 ) (3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　 ) (4)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．(　 ) (5)若数列{an}，{bn}(项数相同)都是等差数列，则数列{an＋bn}也一定是等差数列．(　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√ 二、练牢教材小题 1．(新湘教版选择性必修①P13T4)已知等差数列{an}中，a6＝－24，a30＝－48，则首项a1＝_____，公差d＝_____. 答案：－19　－1 2．(新人教A版选择性必修②P15T4改编)已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则a10＝________. 答案：18 3．(新苏教版选择性必修①P141T5改编)已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝2，且S6＝30，则S9＝________. 答案：126 三、练清易错易混 1．(忽视数列中项为0的情况)已知等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使数列{an}的前n项和Sn取最大值的正整数n的值是________． 解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由|a3|＝|a9|，得|a1＋2d|＝|a1＋8d|，解得a1＝－5d或d＝0(舍去)，则a1＋5d＝a6＝0，a5>0，故使前n项和Sn取最大值的正整数n＝5或6. 答案：5或6 2．(忽视相邻项的符号)首项为28的等差数列{an}，从第8项开始为负数，则公差d的取值范围是________． 解析：由题意知数列{an}满足即解得－≤d<－4. 答案： 3．(忽视项的符号)已知等差数列{an}的通项公式为an＝11－n，则|a1|＋|a2|＋…＋|a20|＝________. 解析：设Sn是数列{an}的前n项和，|a1|＋|a2|＋…＋|a20|＝(a1＋a2＋…＋a11)－(a12＋a13＋…＋a20)＝S11－(S20－S11)＝2S11－S20，而S11＝＝55，S20＝10×20＋×(－1)＝10，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a20|＝100. 答案：100 命题视角一　等差数列的基本运算(自主练通) 1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，则m＝(　 ) A．9 B.10 C．11 D.15 解析：选B　设等差数列{an}的公差为d，依题意得解得∴am＝a1＋(m－1)d＝7m－