第四章 第六节 第1课时 系统知识牢基础——正弦定理、余弦定理及应用（Word教参）-【创新方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第六节　正弦定理和余弦定理 课程标准 第1课时　系统知识牢基础——正弦定理、余弦定理及应用 知识点一　正弦定理、余弦定理 [由教材回扣基础] 1．正、余弦定理及变形 定理 内容 变形形式 正弦定理 ＝＝＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B， c＝2Rsin_C； sin A＝；sin B＝； sin C＝； a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； asin B＝bsin A，bsin C ＝csin B，asin C＝csin A； ＝2R 余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝a2＋c2－2accos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C　 cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2.注意以下易错点 若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题． 3．谨记常用结论 (1)在三角形ABC中，A＋B＋C＝π，则 ①sin A＝sin(B＋C)，cos A＝－cos(B＋C)，tan A＝－tan(B＋C)． ②sin ＝cos ，cos ＝sin . ③sin A＝sin B⇔A＝B； sin 2A＝sin 2B⇔A＝B或A＋B＝. ④A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B． (2)三角形的面积 S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r. [练小题巩固基础] 1．判断正误 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　 ) (2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B.(　 ) (3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素，可求其他元素．(　 ) (4)当b2＋c2－a2＞0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2＜0时，△ABC为钝角三角形．(　 ) (5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．(　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ 2．(新苏教版必修②P97例1改编)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝，B＝，c＝3，则a＝(　 ) A. B．2 C．3 D．4 答案：C 3．(人教A版必修⑤P4例2改编)在△ABC中，已知AC＝，AB＝3，A＝30°，则BC＝(　 ) A．4 B．2 C．3 D． 答案：D 4．(人教A版必修⑤P7例4改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝(　 ) A. B． C.π D．π 解析：选C　由余弦定理，得cos∠BAC＝＝＝－，因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝π，故选C. 5．(忽视条件出现增根致误)在△ABC中，若A＝60°，a＝4，b＝4，则B＝________. 解析：由正弦定理＝，得sin B＝＝＝.又a＞b，则A＞B，所以B为锐角，故B＝45°. 答案：45° 6．(面积公式使用错误致误)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若2sin B＝sin A＋sin C，cos B＝，且S△ABC＝6，则b＝________. 解析：在△ABC中，由正弦定理可得，2b＝a＋c　①，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2ac×＝(a＋c)2－ac　②，由cos B＝，得sin B＝，故S△ABC＝ac×＝6　③，由①②③得，b＝4. 答案：4 7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝5，b>c，△ABC的面积为5，则c＝________. 解析：由三角形面积公式，得×4×5sin C＝5， 即sin C＝.又b>a，b>c，所以C为锐角，于是C＝60°.由余弦定理，得c2＝42＋52－2×4×5cos 60°，解得c＝. 答案： 知识点二　正、余弦定理的实际应用 [由教材回扣基础] 测量中几个术语的意义及图形表示 名称 意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α (1)方位角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同一问题中对角的不同描述． (2)将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值