第三章 第二节 第1课时 系统知识牢基础——导数与函数的单调性、极值与最值（Word教参）-【创新方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第二节　导数在研究函数中的应用 课程标准 1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间． 2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系． 第1课时　系统知识牢基础——导数与函数的单调性、极值与最值 知识点一　利用导数研究函数的单调性 [由教材回扣基础] 1．函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与f′(x)的关系 (1)如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间上单调递增． (2)如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间上单调递减． (3)如果f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在区间内是常数． 2．利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求出导数f′(x)的零点； (3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 3．用充分必要条件诠释导数与函数单调性的关系 (1)f′(x)>0(<0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充分不必要条件． (2)f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的必要不充分条件． (3)若f′(x)在区间(a，b)的任意子区间内都不恒等于零，则f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充要条件． 若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立．即“f′(x)>0在(a，b)上恒成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件． [练小题巩固基础] 1．函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是(　 ) A．先增后减 B．先减后增 C．增函数 D．减函数 解析：选D　∵f′(x)＝－sin x－1＜0，∴f(x)在(0，π)上是减函数． 2．已知函数f(x)的导函数f′(x)满足下列条件： ①f′(x)>0时，x<－1或x>2；②f′(x)<0时，－1<x<2；③f′(x)＝0时，x＝－1或x＝2. 则函数f(x)的大致图象是(　 ) 解析：选A　根据条件知，函数f(x)在(－1,2)上是减函数，在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是增函数，故选A. 3.如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是(　 ) A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数 B．在区间(1,3)上f(x)是减函数 C．在区间(4,5)上f(x)是增函数 D．当x＝2时，f(x)取到极小值 解析：选C　∵在(4,5)上f′(x)>0恒成立，∴f(x)是增函数． 4．函数f(x)＝x3－x2－3x＋4的单调减区间为________． 解析：f′(x)＝x2－2x－3，由f′(x)<0得－1<x<3，故f(x)的单调减区间为(－1,3)． 答案：(－1,3) 5．若函数f(x)＝x3－x2＋ax＋4的单调减区间是[－1,4]，则a＝________. 解析：易知f′(x)＝x2－3x＋a，由题意知f′(x)≤0的解集为[－1,4]，则－1与4是方程x2－3x＋a＝0两个根，故a＝－1×4＝－4. 答案：－4 知识点二　利用导数研究函数的极值 [由教材回扣基础] 1．极小值、极大值的概念 极小值 极大值 定义 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值 图象 2．极值点与极值 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． (1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1)；在x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值为f(x2)．极大值与极小值之间无确定的大小关系． (2)极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数． (3)f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要而非充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极