3.3 幂函数-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学上学期同步讲与练(人教A版2019必修第一册)

3.3 幂函数 一、幂函数的图象与概念 1、定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2、幂函数的特征：（1）xα的系数是1；（2）xα的底数x是自变量；（3）xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数． 对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 3、幂函数的图象 同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象(如图)． 二、幂函数的性质 1、所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； 2、如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； 3、如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； 4、在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 题型一 判断是否为幂函数 【例1】下列函数是幂函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】形如的函数为幂函数，则为幂函数.故选：C. 【变式1-1】下列函数是幂函数的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】形如（为常数且）为幂函数， 所以，函数为幂函数， 函数、、均不是幂函数.故选：C. 【变式1-2】下列函数中，不是幂函数的是（ ） A．y＝2x B．y＝x－1 C．y＝ D．y＝x2 【答案】A 【解析】不是幂函数；，，为幂函数；故选：A. 【变式1-3】下列幂函数中，定义域为R的幂函数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A：，则需要满足，即， 所以函数的定义域为，故A不符合题意； B：，则需要满足， 所以函数的定义域为，故B不符合题意； C：，则需要满足， 所以函数的定义域为，故C不符合题意； D：，故函数的定义域为，故D正确；故选：D. 题型二 求幂函数的解析式 【例2】（多选）如果幂函数的图象不过原点，则实数的取值为（ ） A． B． C． D．无解 【答案】BC 【解析】由已知可得，解得或.故选：BC. 【变式2-1】已知幂函数的图像过点，则的解析式为=__________． 【答案】 【解析】由题意知，设幂函数的解析式为为常数)， 则，解得， 所以. 【变式2-2】已知幂函数在上单调递增，则的解析式是_____. 【答案】 【解析】是幂函数， ，解得或， 若，则，在上不单调递减，不满足条件； 若，则，在上单调递增，满足条件； 即. 【变式2-3】已知幂函数在为减函数，则___________. 【答案】 【解析】为幂函数， 所以，解得：或. 当时，为R上的增函数； 当时，为R上的减函数. 所以，所以. 【变式2-4】已知幂函数的图象关于y轴对称，则___________． 【答案】4 【解析】由于是幂函数，所以，解得或. 当时，，图象关于轴对称，符合题意. 当时，，图象关于原点对称，不符合题意. 所以的值为，∴. ，. 题型三 幂函数定义域问题 【例3】函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 则有，解得且， 因此的定义域是．故选：B. 【变式3-1】函数的定义域为______. 【答案】 【解析】由可知其定义域为. 【变式3-2】已知幂函数的图象过点，则的定义域为（ ） A．R B．C． D． 【答案】C 【解析】设，因为的图象过点， 所以，解得，则， 故的定义域为．故选：C 【变式3-3】若有意义，则实数的取值范围是________ 【答案】 【解析】若有意义，则，解得 所以实数的取值范围是. 题型四 幂函数的值域问题 【例4】函数在区间[－4，－2]上的最小值是____． 【答案】 【解析】因为函数在(－∞，0)上单调递减， 所以当x＝－2时，． 【变式4-1】若幂函数的图象过点，则的值域为____________． 【答案】 【解析】设，因为幂函数的图象过点，所以 所以，所以 【变式4-2】已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】由幂函数的图像过点， 可得，解得，所以， 函数， 则， 所以在区间上单调递增， 所以的最小值.故选： 【变式4-3】幂函数的图象过点，则函数的值域是（ ） A．