第四章 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数（Word教参）-【创新方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第四章 | 三角函数与解三角形 第一节　任意角和弧度制及任意角的三角函数 课程标准 1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化． 2．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的含义． [由教材回扣基础] 1．三角函数的基本概念 定义 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形 分类 (1)按旋转方向分为正角、负角和零角； (2)按终边位置分为象限角和轴线角 终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z} 2.弧度制 定义 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad 弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示，半径用r表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝°≈57.3° 计算公式 l＝|α|r，扇形面积S＝lr＝|α|r2 3.任意角的三角函数 定义 设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0) 定义推广 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么：sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0) 三角函数值的符号 (1)象限角 象限角 角的表示 第一象限的角 {α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z} 第二象限的角 {α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z} 第三象限的角 {α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z} 第四象限的角 {α|k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z} (2)若α，β，γ，θ分别为第一、二、三、四象限角，则，，，的终边所在的象限如图所示． (3)若α∈，则tan α>α>sin α. (4)把弧度作为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，但把度(°)作为单位表示角时，度(°)就一定不能省略． (5)已知三角函数值的符号确定角的终边位置，不要遗漏终边在坐标轴上的情况． [练小题巩固基础] 一、准确理解概念(判断正误) (1)小于90°的角是锐角．(　 ) (2)锐角是第一象限角，反之亦然．(　 ) (3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.(　 ) (4)sin α＜0，则α为第三、四象限角．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、练牢教材小题 1．(新人教A版必修①P176 T7改编)已知α是锐角，那么2α是(　 ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角 答案：C 2．(新湘教版必修①P160例1改编)已知角α的终边过点P(4，－3)，则sin α＝________，tan α＝________. 答案：－　－ 3．(新苏教版必修①P171 T8改编)若α是第四象限角，则π－α是第________象限角． 答案：三 三、练清易错易混 1．(混淆角所在象限)已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝＋＋的值为(　 ) A．1 B．－1 C．3 D．－3 答案：B 2．(易忽视扇形公式中的α是弧度制)已知60°的圆心角所对的弧长为2，则该弧所在圆的半径为________． 答案： 3．(忽视对参数的讨论)已知角α的终边过点P(－8m,6m)(m≠0)，则sin α＝________. 解析：由题意得x＝－8m，y＝6m，所以r＝10|m|. 当m>0时，sin α＝＝； 当m<0时，sin α＝＝－. 答案：或－ 4．(忽视轴线角)已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是________． 解析：∵cos α≤0，sin α＞0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上． ∴∴－2＜a≤3. 答案：(－2,3] 命题视角一　象限角及终边相同的角的表示(自主练通) 1．下列命题中正确命题的个数是(　 ) ①第二象限角大于第一象限角； ②三角形的内角是第一象限角或第二象限角； ③若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ④若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选A　①由任意角的定义，各象限的角都有可能为正角或负角，故第二象限角大于第一象限角，错误；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角，也有可能是轴线角，错误；③当α＝，β＝时，sin α＝sin β，显然α与β的终边不相同，错误；④cos θ＝－1<0，此时θ终边在x轴负半轴上，错误．所以正确命题的个数为0. 2．若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的