第四章 第六节 第2课时 精研题型明考向——解三角形及应用举例（Word教参）-【创新方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第2课时　精研题型明考向——解三角形及应用举例 1．(2021全国甲卷·考查三角恒等变换及正弦定理) 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．右图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(≈1.732)(　 ) A．346 B．373 C．446 D．473 解析：选B　如图，分别过C，B两点作CE∥C′B′，BF∥A′B′，分别交BB′，AA′于E，F两点．易知BE＝100，BF⊥AA′，且∠ABF＝45°，所以AF＝BF＝A′B′，要求AA′与CC′的高度差，即求AF＋BE，即求BE＋A′B′.在△BCE中，＝＝tan∠BCE＝tan 15°＝tan(45°－30°)＝＝2－，解得CE＝100(2＋)，即B′C′＝100(2＋)．在△A′B′C′中，∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°，所以∠C′A′B′＝75°.由正弦定理，得＝，所以A′B′＝·B′C′＝·B′C′＝100(＋1)≈273，所以AA′－CC′＝BE＋A′B′≈100＋273＝373.故选B. 2．(2021全国乙卷·考查三角形面积公式的应用及余弦定理求边) 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________. 解析：由题意，得S△ABC＝acsin B＝，即ac·＝，解得ac＝4.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝3ac－2ac·＝8，解得b＝2(负值已舍去)． 答案：2 3．(2022全国甲卷·考查与解三角形有关的最值问题) 已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当取得最小值时，BD＝________. 解析：设BD＝k(k>0)，则CD＝2k.根据题意作出大致图形，如图．在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝22＋k2－2×2k×＝k2＋2k＋4.在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC＝22＋(2k)2－2×2×2k×＝4k2－4k＋4，则＝＝＝4－＝4－＝4－，∵k＋1＋≥2，∴≥4－＝4－2＝(－1)2，∴当取得最小值－1时，BD＝k＝－1. 答案：－1 4．(2021新高考Ⅰ卷·正余弦定理与多边形相结合) 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BD·sin∠ABC＝asin C. (1)证明：BD＝b； (2)若AD＝2DC，求cos∠ABC. 解：(1)证明：由BDsin∠ABC＝asin C及正弦定理， 得BD＝＝＝＝b. (2)由cos∠BDA＋cos∠BDC＝0及余弦定理，得＋＝0.整理，得b2－2a2－c2＝0，即ac－2a2－c2＝0，所以2－·＋2＝0，解得＝3或＝.所以cos∠ABC＝＝＝.当＝3时，cos∠ABC＝＝(不合题意，舍去)；当＝时，cos∠ABC＝＝.所以cos∠ABC＝. 5．(2022新高考Ⅱ卷·考查正余弦定理解三角形，面积公式) 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1－S2＋S3＝，sin B＝. (1)求△ABC的面积； (2)若sin Asin C＝，求b. 解：(1)由S1－S2＋S3＝，得(a2－b2＋c2)＝，即a2－b2＋c2＝2， 又a2－b2＋c2＝2accos B，所以accos B＝1. 由sin B＝，得cos B＝或cos B＝－(舍去)，所以ac＝＝， 则△ABC的面积S＝acsin B＝××＝. (2)由sin Asin C＝，ac＝及正弦定理知＝＝＝，即b2＝×＝，得b＝. 6．(2022全国乙卷·考查恒等式的证明，解三角形) 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)． (1)证明：2a2＝b2＋c2； (2)若a＝5，cos A＝，求△ABC的周长． 解：(1)证明：因为A＋B＋C＝π，所以sin Csin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2Acos2B－cos2Asin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B，同理有sin Bsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－