第七章 第三节 基本不等式（Word教参）-【创新方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第三节　基本不等式 [由教材回扣基础] 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．几个重要的不等式 3．算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则： (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大) (1)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (2)注意基本不等式成立的条件是a>0，b>0，若a<0，b<0，应先转化为－a>0，－b>0，再运用基本不等式求解． (3)“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误． (4)要多次运用基本不等式才能求出最后结果的题目切记等号成立的条件要一致． [练小题巩固基础] 一、准确理解概念(判断正误) (1)不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(　 ) (2)函数y＝x＋的最小值是2.(　 ) (3)函数f(x)＝sin x＋的最小值为4.(　 ) (4)“x＞0且y＞0”是“＋≥2”的充要条件．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、练牢教材小题 1．(新人教B版必修①P77例1改编)若x＜0，则x＋(　 ) A．有最小值，且最小值为2 B．有最大值，且最大值为2 C．有最小值，且最小值为－2 D．有最大值，且最大值为－2 答案：D 2．(新人教A版必修①P46例3改编)矩形两边长分别为a，b，且a＋2b＝6，则矩形面积的最大值是________． 答案： 3．(新人教A版必修①P48 T1改编)已知x＞2，则x＋的最小值是________． 答案：4 三、练清易错易混 1．(忽视变量的范围)函数f(x)＝2x＋＋1(x<0)的最大值为________． 解析：∵x<0，∴f(x)＝2x＋＋1＝－＋1≤－2 ＋1＝1－2，当且仅当－2x＝－，即x＝－时，等号成立，∴f(x)的最大值为1－2. 答案：1－2 2．(忽视基本不等式等号成立的条件)当x≥2时，x＋的最小值为________． 答案：3 命题视角一　利用基本不等式求最值 考法(一)　拼凑法求最值　 [例1]　(1)已知f(x)＝(x>0)，则f(x)的最小值是(　 ) A．2 B.3 C．4 D.5 (2)已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为________． [解析]　(1)f(x)＝＝＝x＋1＋＋1，∵x>0，∴x＋1>1，∴x＋1＋＋1≥2＋1＝5，当且仅当x＋1＝，即x＝1时取等号．∴f(x)的最小值是5. (2)依题意得＋＋＝＋＝＋≥2 ＝4，当且仅当＝，即a＋b＝4时取等号．因此，＋＋的最小值为4. [答案]　(1)D　(2)4 [方法技巧] 1．拼凑法求最值 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键． 2．拼凑法求解最值应注意的问题 (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项时应注意检验利用基本不等式的条件．　　 考法(二)　常数代换法求最值　 [例2]　(1)已知函数y＝loga(x－1)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A.若直线mx＋ny＝2过点A，其中m，n是正实数，则＋的最小值是(　 ) A．3＋ B.3＋2 C. D.5 (2)已知a>0，b>0,3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为________． [解析]　(1)由y＝loga(x－1)＋2的图象恒过定点A，可知A(2,2)，所以2m＋2n＝2，所以m＋n＝1.又因为m>0，n>0，所以(m＋n)＝3＋＋≥3＋2 ＝3＋2，当且仅当n＝m时取等号． (2)因为3a＋b＝2ab，所以＋＝1，又a>0，b>0，故a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋，当且仅当＝时取等号，即a＋b的最小值为2＋. [答案]　(1)B　(2)2＋ [方法技巧] 常数代换法求解最值应注意的问题 (1)条件的灵活变形，确定或分离出常数是基础； (2)已知等式化成“1”的表达式，是代数式等价变形的关键； (3)利用基本不等式求最值时注意基本不等式的前提条件．　　 考法(三)　消元法求最值　 [例3]　已