第八章 第一节 第2课时 精研题型明考向——空间几何体及其表面积、体积（Word教参）-【创新方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第2课时　精研题型明考向——空间几何体及其表面积、体积 1．(2022全国甲卷·考查三视图及几何体的体积) 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为(　 ) A．8 B．12 C．16 D．20 解析：选B　三视图对应的几何体是放倒的直四棱柱，如图，直四棱柱的高为2，底面是上底为2，下底为4，高为2的梯形，所以体积V＝Sh＝×(2＋4)×2×2＝12.故选B. 2．(2022新高考Ⅰ卷·与实际问题结合考查棱台的体积)、南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(≈2.65)(　 ) A．1.0×109 m3 B．1.2×109 m3 C．1.4×109 m3 D．1.6×109 m3 解析：选C　如图，由已知得该棱台的高为157.5－148.5＝9(m)，所以该棱台的体积V＝×9×(140＋＋180)×106＝60×(16＋3)×106≈60×(16＋3×2.65)×106＝1.437×109≈1.4×109(m3)．故选C. 3．(2022全国甲卷·考查几何体的侧面积与体积) 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若＝2，则＝(　 ) A. B．2 C. D. 解析：选C　因为甲、乙两个圆锥的母线长相等，所以结合＝2可知，甲、乙两个圆锥侧面展开图的圆心角之比是2∶1.不妨设两个圆锥的母线长为l＝3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，则由题意知，两个圆锥的侧面展开图刚好可以拼成一个周长为6π的圆，所以2πr1＝4π，2πr2＝2π，得r1＝2，r2＝1.由勾股定理得，h1＝＝，h2＝＝2，所以＝＝＝.故选C. 4．(2020全国Ⅲ卷·考查空间几何体的表面积) 如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是(　 ) A．6＋4 　　 B．4＋4 C．6＋2 　　 D．4＋2 解析：选C　由三视图知该几何体为如图所示的三棱锥P-ABC，其中PA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AP＝2，故其表面积S＝×3＋×(2)2×sin 60°＝6＋2. 5．(2021全国甲卷·考查空间几何体的体积) 已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O-ABC的体积为(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　依题意，得△ABC是直角三角形，AB＝＝，则△ABC的外接圆半径r＝＝，S△ABC＝AC·BC＝，所以球心O到平面ABC的距离h＝＝，所以VO-ABC＝S△ABC·h＝.故选A. 6．(2022全国乙卷·考查与球有关的切接问题) 已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　该四棱锥的体积最大即以底面截球的圆面和顶点O组成的圆锥体积最大，设圆锥的高为h(0<h<1)，底面半径为r，则圆锥的体积V＝πr2h＝π(1－h2)h，则V′＝π(1－3h2)，令V′＝π(1－3h2)＝0，得h＝，所以V＝π(1－h2)h在上单调递增，在上单调递减，所以当h＝时，四棱锥的体积最大，故选C. 7．(2021全国乙卷·开放性问题，空间几何体的三视图) 以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为________(写出符合要求的一组答案即可)． 解析：根据三视图“高平齐”的原则，即正视图与侧视图的高相等，可得侧视图只能从题图②和题图③中选择，则俯视图只能从题图④和题图⑤中选择．若选题图②⑤，则三棱锥的直观图如图(1)，可知题图③为侧视图，题图⑤为俯视图这一情况不存在；若选题图③④，则三棱锥的直观图如图(2)，可知题图②为侧视图，题图④为俯视图这一情况不存在． 答案：②⑤(或③④) 8．(2020全国Ⅲ卷·考查圆锥的内切球体积) 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________． 解析：如图，在圆锥的轴截面ABC中，CD⊥AB，BD＝1，BC＝3，圆O内切于△ABC，E为切点，连接OE，则OE⊥BC.在Rt△BCD中，CD＝＝2.易知BE＝BD＝1，则CE＝2.设圆锥的内切球半径为R，则OC＝2－R.在Rt△COE中，OC2－OE2＝C