第五章 第三节 第1课时 系统知识牢基础——平面向量的数量积（Word教参）-【创新方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第三节　平面向量的数量积及其应用 课程标准 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 5．会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题． 6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 第1课时　系统知识牢基础——平面向量的数量积 知识点一　平面向量的数量积 [由教材回扣基础] 1．平面向量数量积的有关概念 向量的夹角 已知两个非零向量a和b，记＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角 数量积的定义 已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，则a与b的数量积(或内积)记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 2.平面向量数量积的运算律 交换律 a·b＝b·a 结合律 λa·b＝λ(a·b)＝a·λ(b) 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c (1)平面向量数量积运算的常用公式 ①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；③a2＋b2＝0⇒a＝b＝0. (2)有关向量夹角的两个结论 ①两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)； ②两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)． (3)a⊥b⇔a·b＝0是对非零向量而言的，若a＝0，虽然a·b＝0，但不能说a⊥b. (4)对于实数a，b，c有(a·b)·c＝a·(b·c)，但对于向量a，b，c而言，(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立，即不满足向量结合律．这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，所以(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立． [练小题巩固基础] 1．已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|的值为(　 ) A．12 B.6 C．3 D.3 解析：选B　因为a·b＝|a||b|cos 135°＝－12，所以|b|＝＝6. 2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角的余弦值为sin，则b·(2a－b)＝(　 ) A．2 B.－1 C．－6 D.－18 解析：选D　∵a与b的夹角的余弦值为sin＝－，∴a·b＝－3，b·(2a－b)＝2a·b－b2＝－18. 3．已知向量a，b满足a·(b＋a)＝2，且a＝(1,2)，则向量b在a方向上的投影为(　 ) A. B.－ C．－ D.－ 解析：选D　由a＝(1,2)，可得|a|＝， 由a·(b＋a)＝2， 可得a·b＋a2＝2， ∴a·b＝－3， ∴向量b在a方向上的投影为＝－. 4.如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，D是边BC的中点，则·＝________. 答案：－ 5．已知a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)，则(a＋b)·c＝________；a·b＝________. 解析：计算可得(a＋b)·c＝(4,0)·(0,1)＝0，a·b＝4－1＝3. 答案：0　3 知识点二　平面向量数量积的坐标表示 [由教材回扣基础] 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ [练小题巩固基础] 1．(人教A版必修④P107例6改编)已知点A(0，)，B(0,0)，C(1,0)，则cos〈，〉＝(　 ) A．－ B.－ C. D. 解析：选C　∵A(0，)，B(0,0)，C(1,0)， ∴＝(1,0)，＝(1，－)， 则cos〈，〉＝＝＝. 2．a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于________． 解析：设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，所以解得 故b＝(－5,12)， 所以cosa，b＝＝. 答案： 3．向量a＝(1,2)，b＝(－1,1)，若ka＋b与b互相垂直，则实数k的值为________． 解析：∵ka＋b＝(k－1,2k＋1)，b＝(－1,1)，∴(ka＋b)·b＝(k－1)×(－1)＋2k＋1＝k＋2＝0，k＝－2. 答案：－2 4．