第五章 第三节 第2课时 精研题型明考向——平面向量数量积及应用（Word教参）-【创新方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第2课时　精研题型明考向——平面向量数量积及应用 1．(2022新高考Ⅱ卷·考查平面向量的夹角)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　 ) A．－6 B.－5 C．5 D.6 解析：选C　由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t,4)，所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.因为〈a，c〉＝〈b，c〉，所以cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，即＝，即＝3＋t，解得t＝5，故选C. 2．(2022全国乙卷·考查平面向量的模、数量积)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝(　 ) A．－2 B.－1 C．1 D.2 解析：选C　由|a－2b|＝3，得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝9，又|a|＝1，|b|＝，所以a·b＝1，故选C. 3．(2020全国Ⅱ卷·考查向量的垂直)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(　 ) A．a＋2b B.2a＋b C．a－2b D.2a－b 解析：选D　由题意，得a·b＝|a||b|cos 60°＝.对于A，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝＋2＝≠0，故A不符合题意；对于B，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝1＋1＝2≠0，故B不符合题意；对于C，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－2＝－≠0，故C不符合题意；对于D，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝1－1＝0，所以(2a－b)⊥b.故选D. 4．(2022北京高考·考查数量积的范围)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则·的取值范围是(　 ) A．[－5,3] B.[－3,5] C．[－6,4] D.[－4,6] 解析：选D　以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(3,0)，B(0,4)，设P(x，y)，则x2＋y2＝1，＝(3－x，－y)，＝(－x,4－y)，所以·＝x2－3x＋y2－4y＝2＋(y－2)2－，又2＋(y－2)2表示圆x2＋y2＝1上一点到点距离的平方，圆心(0,0)到点的距离为，所以·∈2－，2－，即·∈[－4,6]，故选D. 5．(2021全国甲卷·考查向量的模)若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝________. 解析：由|a－b|＝5，得(a－b)2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25.将|a|＝3，a·b＝1代入上式，得32－2×1＋b2＝25.化简，得b2＝18，所以|b|＝3. 答案：3 6．(2021全国甲卷·考查向量垂直及坐标表示)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝________. 解析：依题意，得c＝a＋kb＝(3＋k,1)．又a⊥c，所以a·c＝0，即3(3＋k)＋1＝0，解得k＝－. 答案：－ 7．(2021新高考Ⅱ卷·考查向量的数量积)已知向量a＋b＋c0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________. 解析：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0⇒2(a·b＋b·c＋c·a)＋9＝0⇒a·b＋b·c＋c·a＝－. 答案：－ [把脉考情] 常规角度 主要考查平面向量数量积的计算，利用数量积求向量的模、夹角以及数量积的范围问题等 创新角度 1.平面向量的数量积与三角恒等变换、解析几何、平面几何以及三角函数交汇，主要利用数量积证明垂直或利用数量积转化垂直的条件、求长度等． 2.新高考出现了多项选择题，老高考可能出现组合题 命题视角一　平面向量数量积的运算 [典例]　(1)在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，＝2，＝2，则·的值为(　 ) A．－15 B.－9 C．－6 D.0 (2)(2022·江西重点中学协作体联考)在△ABC中，O为中线AM的中点．若AM＝2，则·(＋)＝________. [解析]　(1)连接OA.在△ABC中，＝－＝3－3＝3(－)－3(－)＝3(－)，∴·＝3(－)·＝3(·－2)＝3×(2×1×cos 120°－12)＝3×(－2)＝－6. (2)因为O为中线AM的中点，AM＝2，所以AO＝OM＝1，且与的夹角为π，所以·(＋)＝·2＝2||||cos π＝－2. [答案]　(1)C　(2)－2 [方法技巧]　平面向量数量积的2种运算方法 定义法 当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ 坐标法 当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2