第三章 第二节 第2课时 中档题目保住分(一) 导数与函数的单调性（Word教参）-【创新方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第2课时　中档题目保住分(一)　导数与函数的单调性 命题视角一　利用导数求函数的单调区间 [典例]　(1)已知函数f(x)满足f(x)＝f′(2)ex－2－f(0)x＋x2，则f(x)的单调递减区间为(　 ) A．(－∞，0) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(0，＋∞) (2)函数f(x)＝x＋2的单调递增区间是(　 ) A．(0,1) B．(－∞，1) C．(－∞，0) D．(0，＋∞) [解析]　(1)由题设f′(x)＝f′(2)ex－2－f(0)＋x，则f′(2)＝f′(2)－f(0)＋2，可得f(0)＝2，而f(0)＝f′(2)e－2＝2，则f′(2)＝2e2，所以f(x)＝2ex－2x＋x2，即f′(x)＝2ex－2＋x，则f′(0)＝0且f′(x)单调递增，当x<0时，f′(x)<0，即f(x)单调递减，故f(x)的单调递减区间为(－∞，0)．故选A. (2)f(x)的定义域为(－∞，1]，f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x＝0.当0<x<1时，f′(x)<0.当x<0时，f′(x)>0.∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0,1)． [答案]　(1)A　(2)C [方法技巧] 1．求函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域． (2)求f′(x)． (3)在定义域内解不等式f′(x)>0，得函数f(x)的单调递增区间． (4)在定义域内解不等式f′(x)<0，得函数f(x)的单调递减区间． 2．求函数单调区间的注意点 (1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则． (2)有相同单调性的单调区间不止一个时，用“，”隔开或用“和”连接，不能用“∪”连接．　　 [针对训练] 1.已知函数f(x)与f′(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝的单调递减区间为(　 ) A．(0,4) B．(－∞，1)， C. D．(0,1)，(4，＋∞) 解析：选D　易知f′(x)过点(0,0)与，当x<0或1<x<4时，f′(x)>f(x)，即g′(x)＝>0，则函数g(x)＝的单调递增区间为(－∞，0)，(1,4)．故选D. 2．已知定义在区间(0，π)上的函数f(x)＝x＋2cos x，则f(x)的单调递增区间为________． 解析：f′(x)＝1－2sin x，x∈(0，π)．令f′(x)＝0，得x＝或x＝，当0<x<，<x<π时，f′(x)>0，当<x<时，f′(x)<0，∴f(x)在和上单调递增，在上单调递减． 答案：， 命题视角二　利用导数讨论或证明函数的单调性 [典例]　(1)设函数f(x)＝ax2－a－ln x，其中a∈R.讨论f(x)的单调性． (2)若(1)函数改为f(x)＝－aln x，a∈R，求f(x)的单调区间． [解]　(1)f′(x)＝2ax－＝(x>0)． 当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减． 当a>0时，由f′(x)＝0，有x＝.此时，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)内单调递减，当a>0时，f(x)在内单调递减，在内单调递增． (2)因为f(x)＝－aln x，x∈(0，＋∞)， 所以f′(x)＝x－＝. ①当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数． ②当a>0时，f′(x)＝，则有 当x∈(0，)时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递减区间为(0，)．当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)的单调递增区间为(，＋∞)．综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间．当a>0时，f(x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，＋∞)． [方法技巧] 解决含参数的函数的单调性问题的注意点 (1)研究含参函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．　　 [针对训练] 已知函数f(x)＝aln x＋x2＋ax，a∈R，讨论f(x)在定义域内的单调性． 解：∵f(x)的定义域为(0，＋∞)， ∴f′(x)＝＋2x＋a＝， ①当a≥0时，2x2＋ax＋a>0， 即f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ②当a<0时，令2x2＋ax＋a＝0，则Δ＝a2－8a＝a(a－8)>0，则x1＝<0(舍去)，x2＝>0，所以0<x<时，f′(x)<0，x>时，f′(x)>0， 所以f(x)在上单调递减， 在上单调递增． 综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 当a<0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增．