第三章 第二节 第5课时 难点专攻夺高分(二) 利用导数研究函数的零点问题（Word教参）-【创新方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第5课时　难点专攻夺高分(二)　利用导数研究函数的零点问题 命题视角一　研究零点个数 [典例]　已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)． (1)若a＝3，求f(x)的单调区间； (2)证明：f(x)只有一个零点． [解]　(1)当a＝3时，f(x)＝x3－3x2－3x－3， f′(x)＝x2－6x－3. 令f′(x)＝0，解得x＝3－2或x＝3＋2. 当x∈(－∞，3－2)∪(3＋2，＋∞)时，f′(x)>0； 当x∈(3－2，3＋2)时，f′(x)<0. 故f(x)的单调递增区间为(－∞，3－2)，(3＋2，＋∞)，单调递减区间为(3－2，3＋2)． (2)证明：因为x2＋x＋1>0， 所以f(x)＝0等价于－3a＝0. 设g(x)＝－3a， 则g′(x)＝≥0， 仅当x＝0时，g′(x)＝0， 所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增． 故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点． 又f(3a－1)＝－6a2＋2a－＝－62－<0，f(3a＋1)＝>0，故f(x)有一个零点． 综上，f(x)只有一个零点． 函数零点个数也就是函数图象与x轴交点的个数，所以可以借助函数图象的特征迅速求解函数的零点个数问题．对于含参函数的零点个数，一般可从两个方面讨论： (1)利用导数研究函数的单调性和极值，作出函数的大致图象，根据极大值和极小值的符号确定函数零点的个数，即“几个交点几个根，正负极值定乾坤”； (2)分离参数，将问题转化为：求直线y＝a与函数y＝f(x)的图象交点个数问题，即“求根问题要通变，分离参数放左边”．　　 [针对训练] 设函数f(x)＝ln x＋，m∈R. (1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值； (2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数． 解：(1)由题意知，当m＝e时，f(x)＝ln x＋(x>0)，则f′(x)＝，∴当x∈(0，e)时，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln e＋＝2，∴f(x)的极小值为2. (2)由题意知g(x)＝f′(x)－＝－－(x>0)，令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x>0)．设φ(x)＝－x3＋x(x≥0)，则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)·(x＋1)．当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0,1)上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点，∴φ(x)的最大值为φ(1)＝，又∵φ(0)＝0.结合y＝φ(x)的图象(如图)可知，①当m>时，函数g(x)无零点；②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点；③当0<m<时，函数g(x)有两个零点；④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点．综上所述，当m>时，函数g(x)无零点；当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0<m<时，函数g(x)有两个零点． 命题视角二　由零点个数求参数 [典例]　(2022·全国乙卷)已知函数f(x)＝ln(1＋x)＋axe－x. (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)若f(x)在区间(－1,0)，(0，＋∞)各恰有一个零点，求a的取值范围． 解：(1)当a＝1时，f(x)＝ln(1＋x)＋x·e－x， ∴f′(x)＝＋e－x＋x· e－x·(－1)， ∴f′(0)＝1＋1＝2， ∵f(0)＝0， ∴所求切线方程为y－0＝2·(x－0)，即y＝2x. (2)∵f(x)＝ln(1＋x)＋ax·e－x＝ln(x＋1)＋， ∴①当a≥0时，若x>0，则ln(x＋1)>0，≥0， ∴f(x)>0， ∴f(x)在(0，＋∞)上无零点，不符合题意． ②当a<0时，f′(x)＝. 令g(x)＝ex＋a(1－x2)，则g′(x)＝ex－2ax，g′(x)在(－1，＋∞)上单调递增， g′(－1)＝e－1＋2a，g′(0)＝1， (a)若g′(－1)≥0，则－≤a<0，∴当－≤a<0时，g′(x)>0在(－1，＋∞)上恒成立， ∴g(x)在(－1，＋∞)上单调递增， ∵g(－1)＝e－1>0，∴g(x)>0在(－1，＋∞)上恒成立， ∴f′(x)>0在(－1，＋∞)上恒成立， ∴f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，∵f(0)＝0， ∴f(x)在(－1,0)，(0，＋∞)上均无零点，不符合题意． (b)若g′(－1)<0，则a<－，∴当a<－时，存在x0∈(－1,0)，使得g′(x0)＝0. ∴g(x)在(－1，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增． g(－1)＝e－1>0