第四章 第四节 三角函数的图象与性质（Word教参）-【创新方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第四节　三角函数的图象与性质 课程标准 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值． 2．理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质，理解正切函数在上的性质． [由教材回扣基础] 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在(k∈Z)上是增函数，在 (k∈Z)上是减函数 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减函数 在 (k∈Z)上是增函数 周期性 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是 周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是 对称性 对称轴是x＝＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z) 对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是 (k∈Z) 对称中心是(k∈Z) (1)对称与周期 ①正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期． ②正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． (2)要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω>0的情况，避免出现增减区间的混淆． (3)对于y＝tan x，不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数． [练小题巩固基础] 一、准确理解概念(判断正误) (1)函数y＝cos x的图象的对称轴是y轴．(　 ) (2)函数y＝tan x在定义域内是增函数．(　 ) (3)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　 ) (4)y＝sin|x|是偶函数．(　 ) (5)若sin x＞，则x＞.(　 ) (6)由sin＝sin知，π是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　(6)× 二、练牢教材小题 1．(人教A版必修④P56例4改编)函数y＝tan的定义域为________． 答案： 2．(新人教A版必修①P201例2改编)已知函数f(x)＝cosωx＋(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝________. 答案：2 3．(人教A版必修④P63 T5改编)函数y＝3sin2x＋，x∈的值域为________． 答案： 三、练清易错易混 1．(忽视正切函数自身的定义域)函数y＝lg(3tan x－)的定义域为________________． 解析：要使函数y＝lg(3tan x－)有意义，则3tan x－>0，即tan x>.所以＋kπ<x<＋kπ(k∈Z)． 答案：(k∈Z) 2．(忽视ω与0的大小关系对单调性的影响)函数y＝sin的单调递增区间为________________． 解析：y＝sin＝－sin， 令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)， 解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数的单调递增区间为(k∈Z)． 答案：(k∈Z) 3．(忽视正、余弦函数的有界性)函数f(x)＝2cos2x＋5sin x－4的最小值为________，最大值为________． 解析：f(x)＝2cos2x＋5sin x－4＝－2sin2x＋5sin x－2＝－22＋.因为－1≤sin x≤1，所以当sin x＝－1时，f(x)有最小值－9；当sin x＝1时，f(x)有最大值1. 答案：－9　1 命题视角一　三角函数的定义域、值域 [典例]　(1)(2023·绵阳质检)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　 ) A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3 B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4 C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3 D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4 (2)(2023·桂林模拟)已知x∈(0，π)，则f(x)＝cos 2x＋sin x的值域为(　 ) A． B．[0,1) C．(0,1) D． (3)函数y＝的定义域为_______________________________________________． [解析]　(1)∵f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos 2x－