第4章 第6节 余弦定理与正弦定理（Word教参）-【创新方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考）

第六节　余弦定理与正弦定理 1.掌握正弦定理、余弦定理. 2.能解决一些简单的三角形度量问题. 1．余、正弦定理的内容及其变形 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则 定理 余弦定理 正弦定理 内容 a2＝b2＋c2－2bccos_A； b2＝c2＋a2－2cacos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C ＝＝＝2R 变形 cos A＝； cos B＝； cos C＝ (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； (3)＝＝2R 2．三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； (3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． 3．在△ABC中的结论 (1)A＋B＋C＝π.变形：＝－. (2)大边对大角，大角对大边，如a＞b⇔A＞B⇔sin A＞sin B. (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin＝cos；cos＝sin. (5)在△ABC中，内角A，B，C成等差数列⇔B＝，A＋C＝. (6)在斜△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C. 4．三角形射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B； b＝acos C＋ccos A； c＝bcos A＋acos B. 1．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝，a＝1，B＝，则c＝(　 ) A. B．2 C. D．3 解析：选B　由余弦定理得cos B＝，即－＝，整理得c2＋c－6＝0，解得c＝2(负值已舍去)． 2．在△ABC中，a＝1，b＝，B＝60°，则A＝(　 ) A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120° 解析：选A　由正弦定理得＝，解得sin A＝，因为a＜b，所以A为锐角，所以A＝30°，故选A. 3．在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝16＋9－2×4×3×＝9，解得AB＝3，所以 cos B＝＝，故选A. 4．在△ABC中，已知A＝60°，c＝5，a＝7，则△ABC的面积为________． 解析：利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，可得b2－5b－24＝0，解得b＝8或b＝－3(舍去)，△ABC的面积S＝bc·sin 60°＝×8×5×＝10. 答案：10 基础点(一)　余弦定理的简单应用 　 [题点全训] 1．在△ABC中，sin2A＝sin Bsin C，若A＝，则B的大小是(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　因为sin2A＝sin Bsin C，所以a2＝bc，由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccos＝b2＋c2－bc＝bc，即(b－c)2＝0，得b＝c，所以△ABC是等边三角形，B＝. 2．在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos 2A＝cos(B＋C)，且b＝2，c＝6，则a＝(　 ) A. B．2 C. D．2 解析：选D　cos 2A＝－cos A＝2cos2A－1， 即2cos2A＋cos A－1＝0，解得cos A＝－1(舍去)或cos A＝，△ABC中，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A＝28，得a＝2.故选D. 3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝5，b>c，△ABC的面积为5，则c＝________. 解析：由三角形面积公式得×4×5sin C＝5， 即sin C＝.又b>a，b>c，所以C为锐角，于是C＝60°.由余弦定理得c2＝42＋52－2×4×5cos 60°，解得c＝(舍负)． 答案： [一“点”就过] 利用余弦定理解决的两类问题及其解题步骤 已知两边和它们的夹角，如a，b，C ①根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，求出边c； ②根据cos A＝，求出A； ③根据B＝180°－(A＋C)，求出B. 求出第三边后，也可用正弦定理求角，这样往往可以使计算简便，应用正弦定理求角时，为了避开讨论(因为正弦函数在区间(0，π)上是不单调的)，应先求较小边所对的角，它必是锐角 已知三边 可以连续用余弦定理求出两角，常常是分别求较小两边所对的角，再由A＋B＋C＝180°，求出第三个