第4章 第7节 解三角形中的综合问题(习题课)（Word教参）-【创新方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考）

第七节　解三角形中的综合问题(习题课)　　　　　 考法一　利用基本不等式求最值或范围 [典例]　(2023·亳州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，bsin＝csin B. (1)求角C； (2)若△ABC的外接圆半径为2，求△ABC面积的最大值． [解]　(1)因为bsin＝csin B， 所以bcos C＝csin B，由正弦定理，得 sin Bcos C＝sin Csin B， 因为B∈(0，π)，所以sin B≠0， 故cos C＝sin C，tan C＝， 因为C∈(0，π)，所以C＝. (2)根据正弦定理得＝＝4， 解得c＝2， 根据余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝12，由基本不等式，得a2＋b2≥2ab， 即12＋ab≥2ab，解得ab≤12， 当且仅当a＝b＝2时等号成立， 此时S△ABC＝absin C≤3， 故△ABC面积的最大值为3. [方法技巧] 求解三角形中有关边长、角、面积的最值(范围)问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立a＋b，ab，a2＋b2之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解．　　 [针对训练] (2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝. (1)若C＝，求B； (2)求的最小值． 解：(1)因为＝， 所以＝， 所以＝， 所以cos Acos B＝sin B＋sin Asin B， 所以cos(A＋B)＝sin B， 所以sin B＝－cos C＝－cos＝， 因为B∈，所以B＝. (2)由(1)得cos(A＋B)＝sin B， 所以sin＝sin B，且0＜A＋B＜， 所以0＜B＜，0＜－(A＋B)＜， 所以－(A＋B)＝B，解得A＝－2B， 由正弦定理，得 ＝ ＝＝ ＝ ＝ ＝ ＝4cos2B＋－5 ≥2－5 ＝4－5，当且仅当cos2B＝时取等号， 所以的最小值为4－5. 考法二　利用三角函数求最值或范围 [典例]　(2023·岳阳质监一)已知D为△ABC的边AB上一点，满足AD＝2，DB＝8，记∠ABC＝α，∠CAB＝β. (1)当CD⊥AB时，且β＝2α，求CD的值； (2)若α＋β＝，求△ACD面积的最大值． [解]　(1)设CD长为x， 当CD⊥AB时，AD＝2，DB＝8， 则tan α＝，tan β＝， 因为>β＝2α>0，所以tan β＝tan 2α>0， 即tan β＝>0， 所以＝>0，得x2＝32， 所以x＝4，即CD为4. (2)在△ABC中，α＋β＝，则∠ACB＝， 由正弦定理得＝＝，又AB＝10， 所以BC＝10sin β，AC＝10sin α， 则△ABC的面积S＝BC·AC·sin ＝×10sin β×10sin α×sin ＝50sin β sin α，又α＋β＝， 所以S＝50sin β×sin＝50(sin βcos β－sin2β)＝25(sin 2β＋cos 2β－1)＝25sin－25. 因为0<β<， 所以<2β＋<， 所以当2β＋＝， 即β＝时，S有最大值25(－1)． 又△ACD的面积等于S， 故△ACD的面积的最大值为5(－1)． [方法技巧] (1)解决三角形中的某个量的最值或范围问题，除了利用基本不等式外，再一个思路就是利用正弦定理、余弦定理，把该量转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解． (2)利用三角函数求解最值或范围问题的关键是求三角函数中角的范围，此时要特别注意题目隐含条件的应用，如锐角三角形、钝角三角形，三角形内角和为π等．　　 [针对训练] 1．已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin A＝cos C(sin B＋cos B)． (1)求C的值； (2)若c＝，求△ABC面积S的取值范围． 解：(1)由sin A＝cos C(sin B＋cos B)得sin－cos Csin B＝cos Bcos C， 即sin Ccos B＝cos Bcos C，因为△ABC为锐角三角形，cos B≠0， 所以tan C＝，则C＝. (2)因为c＝，C＝，由正弦定理可得＝＝＝2，则a＝2sin A，b＝2sin B， 所以△ABC面积S＝absin C＝sin A·sin B＝sin A·sin＝sin A·＝sin Acos A＋sin2A＝sin 2A＋＝＋sin， 因为△ABC为锐角三角形且C＝，所以<A<，则2A－∈，所以sin∈，因此S∈. 2．已知锐角△ABC的面积为S，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足4S＝2－a2. (1)求角A的大小； (2)若a＝，求·＋·＋·的取值范围． 解：(1)4S＝2－a2，则2bcsin A＝b2＋c2－a2＋2bc，∴2bcs